Основные этапы решения задач

Решение задач динамики путем интегри­рования соответствующих дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям.

1. Составление дифференциального уравнения движения.

Для этого надо:

а) выбрать начало отсчета (как правило, совмещая его с начальным положением точки) и провести координатную ось вдоль линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения; если под действием приложенных сил точка может находиться в каком-нибудь положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении статического равновесия;

б) изобразить движущуюся точку в произвольном положении (но так, чтобы было x>0 и v_x >;0; последнее существенно, когда среди сил есть силы, зависящие от скорости) и показать все действующие на нее силы;

в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения. При этом надо обязательно все переменные силы выразить через те величины (t, х или v), от которых эти силы зависят.

2. Интегрирование дифференциального уравнения движения производится методами, известными из курса высшей математики и зависящими от вида полученного уравнения, т. е. от вида правой части в равенстве (9). В тех случаях, когда на точку, кроме постоянных сил действует одна переменная сила, зависящая толькоот времени t,или толькоот расстояния х, или же толькоот скорости v, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных.

3. Определение постоянных интегрирования проводится путем

удовлетворения полученных в п.2 решений начальным условиям, составленных по данным задачи.

Если дифференциальное уравнение движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах.

4. Нахождение искомых в задаче величин и исследование полученных результатов. Чтобы иметь возможность исследовать решение, а также произвести косвенную проверку результата подсчетом размерностей, надо все решение проводить до конца в общем виде (в буквах), подставляя численные данные только в окончательные результаты.

Сделанные здесь общие указания относятся и к случаю криволинейного движения.

Рассмотрим три конкретные задачи, в которых сила зависит от времени, от расстояния и от скорости движения точки.