Решение. 1. Описание теоретического решения задачи1. Описание теоретического решения задачи Существование решения поставленной задачи гарантируется одним из свойств непрерывных функций: если ФНП является непрерывной на замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на этой области. Данная функция двух переменных является непрерывной в замкнутой области, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения в этой области существуют: , . Эти значения называют глобальными экстремумами функции в области D, они могут достигаться либо в точках локальных экстремумов, лежащих внутри области D, либо на границе области D. Для наглядности процесса практического решения задачи нужно построить область D в системе координат и отмечать в ее точках значения функции z, которые далее будут вычисляться:
, , уравнение AC: уравнение BC:
2. Нахождение локальных экстремумов функции z(x,y) внутри области D Используем необходимые и достаточные условия для точки локального экстремума ФНП . Необходимые условия: - это стационарная точка (подозрительная на экстремум), она является внутренней для области D. Достаточное условие экстремума: , , , , в стационарной точке M есть экстремум, так как , причем минимум, так как . Вычисляем значение функции z в точке минимума: ; Выносим это значение z на область D в точку .
3. Исследование значений функции z(x,y) на границе области D Так как в решаемой задаче граница области D является кусочно-заданной, то нужно исследовать функцию на каждом участке границы в отдельности. На участке AB: на участке границы функция двух переменных заменилась функцией одной переменной , ; Ее наибольшее и наименьшее значение на замкнутом промежутке можно найти, построив схематично график на этом промежутке:
, ;
при ; при , при ;
Переносим результаты исследования функции на функцию : на участке получим, что - достигается в точке , - достигается в точке ; выносим эти значения на чертеж области . На участке AC: обозначим , и построим схематично график:
, ;
при ; при , при x=1,5;
На участке получим, что - достигается в точке , - достигается в точке ; выносим эти значения также на чертеж области . На участке BC: обозначим , и построим схематично график: при
при при На участке получим, что - достигается в точке , - достигается в точке ; выносим эти значения так же на чертеж области , контролируя при этом в угловых точках совпадение значений функции , которые получились на разных участках границы области .
4. Получение ответа Сравнивая между собой все значения функции , которые были найдены в решении задачи и вынесены на чертеж области , выбираем из них наибольшее и наименьшее и составляем ответ.
Ответ: - достигается в точке , - достигается в точке .
|