Решение. 1. Описание теоретического решения задачи

1. Описание теоретического решения задачи

Существование решения поставленной задачи гарантируется одним из свойств непрерывных функций: если ФНП является непрерывной на замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на этой области.

Данная функция двух переменных является непрерывной в замкнутой области, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения в этой области существуют:

,

.

Эти значения называют глобальными экстремумами функции в области D, они могут достигаться либо в точках локальных экстремумов, лежащих внутри области D, либо на границе области D.

Для наглядности процесса практического решения задачи нужно построить область D в системе координат и отмечать в ее точках значения функции z, которые далее будут

вычисляться:

 

, ,

уравнение AB:

уравнение AC:

уравнение BC:

 

2. Нахождение локальных экстремумов функции z(x,y) внутри области D

Используем необходимые и достаточные условия для точки локального экстремума ФНП .

Необходимые условия: - это стационарная точка (подозрительная на экстремум), она является внутренней для области D.

Достаточное условие экстремума:

, , , , в стационарной точке M есть экстремум, так как , причем минимум, так как . Вычисляем значение функции z в точке минимума:

;

Выносим это значение z на область D в точку .

 

3. Исследование значений функции z(x,y) на границе области D

Так как в решаемой задаче граница области D является кусочно-заданной, то нужно исследовать функцию на каждом участке границы в отдельности.

На участке AB: на участке границы функция двух переменных заменилась функцией одной переменной , ;

Ее наибольшее и наименьшее значение на замкнутом промежутке можно найти, построив схематично график на этом промежутке:

 

,

;

при

;

при ,

при ;

 

Переносим результаты исследования функции на функцию : на участке получим, что - достигается в точке , - достигается в точке ; выносим эти значения на чертеж области .

На участке AC: обозначим , и построим схематично график:

 

,

;

при

;

при ,

при x=1,5;

 

На участке получим, что - достигается в точке , - достигается в точке ; выносим эти значения также на чертеж области .

На участке BC:

обозначим , и построим схематично график:

при

при

при

На участке получим, что - достигается в точке , - достигается в точке ; выносим эти значения так же на чертеж области , контролируя при этом в угловых точках совпадение значений функции , которые получились на разных участках границы области .

 

4. Получение ответа

Сравнивая между собой все значения функции , которые были найдены в решении задачи и вынесены на чертеж области , выбираем из них наибольшее и наименьшее и составляем ответ.

 

Ответ: - достигается в точке , - достигается в точке .