Решение. 1) Линией уровня скалярного поля называется линия, в каждой точке которой функция имеет постоянное значение.

1) Линией уровня скалярного поля называется линия, в каждой точке которой функция имеет постоянное значение.

 

Для данного скалярного поля уравнения линий уровня имеют вид ; здесь постоянная равна значению функции в точке , через которую проходит линия уровня. Семейство линий уровня представляет собой множество парабол с вершинами в точках и ветвями, направленными вверх.

 

если , то имеем линию уровня , на которой ;

если , то имеем линию уровня , на которой ;

если , то имеем линию уровня , на которой .

 

Находим градиент данного скалярного поля:

;

смысл этого вектора состоит в том, что в каждой точке он показывает направление, в котором функция возрастает с наибольшей скоростью.

 

 

2) В фиксированной точке :

;

, где - это орт направления ;

Направляющие косинусы вектора вычисляем по известным формулам геометрии:

, , если , то , , ;

, ;

- это значение указывает на то, что в точке в направлении вектора данная функция возрастает со скоростью, величина которой ;

скорость наибольшего возрастания функции в той же точке - это скорость ее изменения в направлении вектора градиента, величина этой скорости равна модулю вектора градиента:

= .

 

3) Выполним построение в точке линии уровня вектора градиента:

 

уравнение линии уровня: ;

вектор имеет направление, перпендикулярное к линии уровня, проходящей через точку .

Ответ: 1) линии уровня , ;

2) , ,

величина скорости наибольшего возрастания функции U в точке

равна .