Теорема 21. Кожна квадратна матриця
го порядку над полем
, яка має у полі
різних характеристичних коренів, подібна до деякої діагональної матриці, тобто зводиться до діагонального вигляду.
Методичні рекомендації до розв‘язування задач
Приклад 1.
матриця оператора
в базисі
;
матриця оператора
в базисі
. Знайти матрицю оператора
в базисі
.
Розв’язання. Позначимо матрицю оператора
:
, тоді в базисі
:
, де
- матриця оператора
в базисі
. За формулою
, де
- матриця переходу від базису
до базису
. Обчислимо
.
, 
,
,
.
,
,
.
Тоді
.
.
Обчислимо

.
Отже,
.
Відповідь:
.
Приклад 2. Лінійний оператор
в базисі
, де
,
має матрицю
. Лінійний оператор
в базисі
, де
,
має матрицю
. Знайти
в базисі
, де
,
.
Розв’язання. Для того, щоб знайти матрицю
в базисі
, необхідно обчислити матриці лінійних операторів
і
в базисі
.
Обчислимо матриці цих операторів в базисі
за формулами
,
, де
- матриця переходу від базису
до
.
- матриця переходу від базису
до
.

,
,
.
.
.
,
,
.
.
Обчислимо
і
.
,
.
Отже,

.
.
.
Відповідь:
.
Приклад 3. Нехай
і
та
– лінійні оператори простору
.
,
. Знайти: а)
, б)
, в)
.
Розв’язання. При розв’язуванні задачі скористаємося означенням суми та добутку лінійних операторів:
;
.
а)
,
,
Матриця цього перетворення має вигляд:
.
Другий спосіб. Знайдемо матриці перетворення лінійних операторів
і
.
,
.
Виконаємо перетворення:


Відповідь:
.
.
б) 
.
;

.
Другий спосіб.
Розглянемо
, де
. Подіємо лінійними операторами
та
на вектори базису 
,
,
,
,
;
.
і
.
Тоді
.
За означенням, матриця добутку лінійних операторів дорівнює добутку матриць лінійних операторів.
.
.
Відповідь:
;
.
в)
.
Матриця цього перетворення має вигляд:

Другий спосіб.
.
.
Відповідь:
,
.
Приклад 4. Нехай
і
та
– лінійні оператори простору
.
,
.. Знайти
в тому ж базисі.
Розв’язання. I. За означеннями дій над лінійними операторами, знаходимо:
,
. { оператор
діє на вектор
}.
.
Знайдемо матрицю, яка відповідає результату дій над даними лінійними операторами:
.
II. Знайдемо матриці операторів
і
:
,
.
За правилами множення матриць, додавання матриць і множення матриці на число, обчислюємо:
.
Знайдемо координатний рядок образа вектора
, якщо діє оператор
.
.
.
Відповідь:
,
.
Приклад 5. Нехай лінійний оператор
векторного простору
над полем дійсних чисел
у деякому базисі
цього простору задано матрицею: а)
, б)
,
в)
. Знайти ранг
і дефект
лінійного оператора
. Побудувати ядро
і область значень
оператора
.
Розв’язання.
а) Оскільки ранг
лінійного оператора
простору
дорівнює рангу
матриці
цього оператора в базисі
, то знаходимо спочатку
:
~
IIp+5·IIIp ~
.
Звідси
і тому
.
Внаслідок того, що сума рангу і дефекту довільного лінійного оператора векторного простору дорівнює розмірності цього простору, то
,
.
Для побудови ядра
і області значень
оператора
досить визначити їх базиси.
Оскільки область значень
оператора
складається з образів усіх векторів простору
, тобто з усіх векторів виду
, де
, то підпростір
породжується системою векторів
,
,
. (а)
Отже, за базис підпростору
можна взяти довільну максимальну лінійно незалежну підсистему векторів системи (а).
Оскільки



то такі підсистеми визначаються максимальними лінійно незалежними підсистемами рядків матриці
. Із знаходження рангу матриці
видно, що однією з максимальних лінійно незалежних підсистем рядків цієї матриці є підсистема, яка складається з першого та третього рядків матриці. Тоді за базис підпростору
можна взяти вектори
,
.
Побудуємо ядро
лінійного оператора
. Оскільки вектор
належить до ядра
оператора
тоді і тільки тоді, коли
, тобто коли
, де
і
- координатні рядки векторів
і
в базисі
, то
є множина всіх тих векторів простору
, координатні рядки яких у базисі
, розглядувані як числові вектори, утворюють простір розв’язків такої системи лінійних однорідних рівнянь
, або в розгорнутому вигляді
(б)
Оскільки матриця останньої системи є матрицею, транспонованою до матриці
, то, використовуючи процес знаходження рангу матриці
, можна стверджувати, що ранг цієї системи дорівнює числу 2 і що за вільне невідоме можна взяти
. Тоді
,
- загальний розв’язок системи (б), а
=
– фундаментальна система розв’язків системи (б), яка є базисом простору
.
Зауваження. Надалі, розв’язуючи такі задачі, ми спрощуватимемо процес розв’язання, а саме:
1. Знайдемо ранг
матриці
. Це буде розмірність
області значень
заданого оператора
. Тоді розмірність
ядра
оператора
знайдемо з рівності
, де
розмірність усього простору.
2. Визначимо базис
простору
. Тут
– номери тих рядків матриці
, які складають максимальну лінійно незалежну систему рядків цієї матриці (зрозуміло, що числа
визначаються неоднозначно).
3. Знайдемо фундаментальну систему розв’язків
системи лінійних однорідних рівнянь, матрицею якої є матриця, транспонована до матриці
. Базис простору
і буде
(
також, очевидно, визначається однозначно).
б)
=?
,
.
Отже,
, де
.
базис
складається із двох векторів.


Загальний розв’язок останньої системи:
. Фундаментальна система розв’язків останньої системи складається із векторів
.
Отже, базис
складається із векторів
і
.
.
в)
,
.
Отже,
, де
,
,
.
базис
складається з
.
Приклад 6. Лінійний оператор
в базисі
має матрицю
, а лінійний оператор
в базисі
має матрицю
. Знайти матриці лінійних операторів
та
в базисі, в якому задано координати всіх векторів.
Розв’язання. Введемо позначення
,
для заданих базисів і
для базису, в якому задано координати векторів. Завдання полягає в тому, щоб знайти матриці, що відповідають добуткам лінійних операторів
та
.
Матрицю лінійного оператора
в базисі
позначимо
, а оператора
-
.
Тоді
і
.
За формулою обчислення матриці лінійного оператора в іншому базисі:
і
, де
і
- матриці переходу від базисів
і
до базису
відповідно.
Оскільки матриці
і
, рядки яких складено відповідно з координатних рядків векторів
і
, є матрицями переходу від базису
до базисів
і
відповідно, то, враховуючи зв'язок між матрицями переходу від одного базису до іншого, дістанемо рівності
,
;
,
.
Тоді
і
.
Обчислимо послідовно:
,
.
.
.
Обчислюємо шукані матриці:
.
.
Відповідь:
,
.
Приклад 7. В лінійному просторі
заданий базис
. Лінійний оператор
переводить вектори
з координатами
,
відповідно у вектори
з координатами
,
. Знайти матрицю оператора
в базисі
.
Розв’язання. Через
позначимо оператор, який переводить вектори
у вектори
. Його матрицею у базисі
буде
.
Оператор
переводить вектори
у вектори
. Отже, добуток
операторів
і
переводить вектори
у вектори
. Тому в базисі
оператор
має матрицю
.
Матриця
оператора
дорівнює добутку матриць операторів
і
, тобто якщо
- матриця оператора
в базисі
, то
. Тоді маємо: 
Відповідь:
- матриця оператора
в базисі
.