Методы устранения гетероскедастичности

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т.е. методом GLS (Generalized Least Squares).

Применение обычного МНК к модели, в которой нарушены эти предпосылки, ведет к тому, что найденные параметры уравнения регрессии не будут эффективными оценками генеральных параметров. Кроме того, их дисперсии будут рассчитаны со смещением, что приведет к ложным выводам при оценке качества модели и при проведении прогнозирования по ней.

Для случая гетероскедастичности остатков обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) называют еще методом взвешенных наименьших квадратов (ВМНК). ОМНК используется для корректировки гетероскедастичности, за счет преобразования данных, позволяющего получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Пусть — стандартное отклонение случайной ошибки в –м наблюдении. В случае если известно, гетероскедастичность можно корректировать, разделив каждое наблюдение на соответствующее ему значение . Так для парной регрессии соответствующее преобразование данных будет иметь вид:

.

Тогда дисперсия остатков представляется в виде:

В результате этой процедуры каждое наблюдение будет иметь случайную ошибку с единичной дисперсией. Следовательно, для преобразованной модели выполняется предпосылка МНК о гомоскедастичности дисперсии остатков, а оценки параметров регрессии, полученные по МНК, будут наилучшими несмещенными оценками.

Применение вышеописанного метода в значительной степени ограничено тем, что на практике фактические значения чаще всего неизвестны. В этом случае применение ОМНК основано на предположении, что среднее значение остаточных величин равно нулю, а вот дисперсия их представлена в виде произведения некоторой величины на постоянную величину :

.

При этом в отношении величин выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

Тогда уравнение преобразуется к виду:

.

В данной модели остаточные величины гетероскедастичны, следовательно для регрессии применим обычный МНК. Действительно, в силу выполнимости предпосылки имеем:

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными основана на минимизации суммы квадратов отклонений вида и последующего решения системы уравнений:

.

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Например, рассматривается модель вида

,

для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна . Коэффициент пропорциональности принимает различные значения для соответствующих значений факторов и . Ввиду того, что

,

для корректировки гетероскедастичности выполняется переход к уравнению с новым преобразованным переменным:

.

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности . В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки пропорциональны значениям какого-либо фактора. Так, если в уравнении

предположить, что и , то ОМНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

.

Таким образом «взвешивая» каждый остаток с помощью коэффициента , можно добиться равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит конечном итоге к получению наиболее эффективных оценок параметров регрессии. Вместе с тем, следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.