Тест Голдфельда-Квандта

Тест Голдфельда-Квандта применяется если случайные остатки предполагаются нормально распределенными случайными величинами и стандартное отклонение пропорционально значению переменной в этом наблюдении, т.е. , .

Процедура проверки состоит в следующем:

1. Все наблюдения упорядочиваются по возрастанию фактора .

2. Упорядоченная совокупность разбивается на три группы размерностей соответственно. Причем должно быть больше чем число параметров модели. Для парной регрессии Голдфельд и Квандт предлагают следующие пропорции: ; .

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой группы ( первых наблюдений) и для третьей группы ( последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям фактора верно, то дисперсия регрессии по первой группы (рассчитываемая как ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей группе (рассчитываемой как ).

4. Формулируются:

Основная гипотеза, предполагающая постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности: .

Альтернативная гипотеза, предполагающая непостоянство дисперсий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:

5. Для сравнения соответствующих дисперсий вычисляется фактическое значение -критерия:

Здесь — число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий ( — количество объясняющих переменных в уравнении регрессии).

Если (где , – выбранный уровень значимости), то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Этот же тест может использоваться при предположении об обратной пропорциональности между и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера имеет вид:

Для множественной регрессии данный тест обычно проводится для той объясняющей переменной, которая в наибольшей степени связана с . При этом должно быть больше, чем . Если нет уверенности относительно выбора переменной , то данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных.

Пример 3.3

Проверим гипотезу о гетероскедастичности остатков с помощью теста Гольдфельда-Квандта для данных из примера 3.1.

1. Данные таблицы 3.1 упорядочим по значению фактора .

Таблица 3.2

№	Цена (р.)	Спрос (тыс. шт.)
	15,09 р.	125,178
	15,21 р.	123,809
	15,28 р.	121,175
	15,49 р.	116,914
	15,54 р.	119,864
	15,62 р.	118,068
	15,70 р.	123,589
	15,91 р.	117,088
	15,92 р.	116,170
	15,95 р.	118,344
	16,31 р.	116,201
	16,33 р.	111,457
	16,60 р.	115,103
	16,69 р.	110,106
	16,76 р.	110,023

 

2. Определим значение .

3. Оценим регрессии по первой и третьей группе данных.

4. Вычислим фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение критерия Фишера .

Поскольку условие выполняется, то гипотеза о наличии гетероскедастичности отклоняется.