Разложение группы по подгруппе.

Пусть G = < G;?> - некоторая группа, и H = < H;?> - подгруппа группы G. С помощью подгруппы H на множестве G элементов группы G можно определить бинарное отношение : для любых двух элементов a и b из G

в том и только в том случае, если в H существует такой элемент h, что выполняется равенство

.

Теорема 1.1. Отношение является отношением эквивалентности на множестве G.

Доказательство. Для доказательства надо показать, что отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1) Рефлексивность. Так как нейтральный элемент группы e принадлежит H, то для любого элемента a из G и, следовательно, .

2) Симмметричность. Из следует существование в H такого элемента h, что . Отсюда получаем, что . Так как H - подгруппа, то h^-1 принадлежит H и, следовательно, .

3) Транзитивность. Пусть и . Это означает, что в H существуют такие элементы h₁ и h₂, что a = b ° h₁ и b = c ° h₂. Отсюда получаем, что a = b ° h₂ ° h₁. Так как H - подгруппа, то произведение h₂ ° h₁ принадлежит H и, следовательно, a º c.

Известно, что любое отношение эквивалентности, заданное на некотором множестве, определяет разбиение этого множества на непересекающиеся классы эквивалентных элементов. Следовательно, и отношение , заданное на множестве G с помощью подгруппы H, определяет разбиение множества G на классы эквивалентности. Эти классы называют левыми смежными классами группы G по подгруппе H, а само разбиение называют левосторонним разложением G группы по подгруппе H.

Левый смежный класс группы G по подгруппе H, содержащий элемент a, обозначим aH. Из определения отношения следует, что каждый элемент смежного класса aH имеет вид a ° h, где .

Заметим, что одним из левых смежных классов является само множество H. Этим классом служит класс eH, порожденный нейтральным элементом e.