Циклические группы

В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ().

· Все циклические группы абелевы.

· Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе — со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению.

o В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.

· Каждая подгруппа циклической группы циклична.

· У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера

· Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).

· Прямое произведение двух циклических групп порядков и циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.

o Например, изоморфна , но не изоморфна .

· Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа , где p — простое число, или .

· Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).

· Кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов изоморфна .