Уравнение Френеля

В настоящем разделе будут получены соотношения, определяющие условия распространения плоских гармонических световых волн в анизо­тропной среде. Из первых двух уравнений Максвелла (2.8) для таких волн, исключая , получим

.

Отсюда, применяя известное тождество

,

получим

, (2.12)

что равносильно трем скалярным уравнениям в проекции на глав­ные диэлектрические оси вида

, (2.13)

Рассмотрим вначале частные случаи. Пусть вектор совпадает по направлению с одной из координатных осей, например , т.е. . Следовательно, , . Тогда в системе уравнений (2.13) останется одно нетривиальное уравнение

,

откуда

Следовательно, скорость распространения волны, поляризованной вдоль оси ,

. (2.14)

Аналогично для скоростей распространения волн, поляризованных вдоль осей и , получим соответственно

, . (2.15)

Во всех рассмотренных случаях векторы и коллинеарны, на­правления распространения волнового фронта и потока электромаг­нитной энергии совпадают (), причем вектор находится в коорди­натной плоскости, ортогональной оси поляризации волны.

Скорости , называют главными скоростями распространения волны в кристалле. Важно отметить, что они не являются проекциями ка­кой-либо иной скорости.

Перейдем к рассмотрению общего случая. Разрешим уравнения (2.13) относительно :

, (2.16)

Умножим обе части уравнений (2.16) на и сложим для всех зна­чений ; в результате получим

,

или, после сокращения на (),

.

Представим единицу в правой части в виде и, перенося ее в левую часть, будем иметь

.

Учитывая, что , и соотношения для главных скоростей , , получим окончательно

. (2.17)

Это уравнение называется волновым уравнением Френеля, оно по­зволяет определить скорость распространения волны в заданном нап­равлении .

Рассмотрим решение этого уравнения графическим способом. Из вида уравнения следует, что для каждого его решения сущест­вует решение . Мы будем считать два эти решения одним, так как отрица­тельные значения скорости соответствуют, очевидно, противоположному направлению движения. Покажем, что уравнение (2.17) имеет два дейст­вительных положительных решения. Для этого построим график функции , являющейся левой частью уравнения (2.17).

В области , при условии (рис. 10), из графика полу­чаем два корня уравнения (2.17): и .

Таким образом, первый вывод, который следует сделать из нашего рассмотрения, следующий: в анизотропной среде в произвольном на­правлении могут распространяться две гармонические волны с фазо­выми скоростями и . Прежде всего отметим, что обе эти волны ли­нейно поляризованы. Действительно, заменив в (2.16) , , получим для составляющих вектора

, (2.18)

Подставив в (2.I8) , получим , а при . Легко видеть, что отношения и вещественны. А поскольку , вещественными будут и соответст­вующие отношения для векторов и . Из пре­дыдущего раздела известно, что вещественность отношений компонент векторов и означает, что волны и линейно поляризо­ваны. Докажем теперь, что векторы и этих волн взаимно ортого­нальны, для этого применим соотношение (2.12) к обеим волнам, заме­нив ,

,

,

умножив скалярно первое уравнение на , а второе на , после вычитания получим

. (2.19)

Правая часть полученного выражения, как нетрудно убедиться, равна нулю. Следовательно, если , то и,следовательно, векторы и , ортогональны.

Для дальнейшего изложения необходимо определить так называе­мый принцип соответствия в кристаллооптике (его доказательство приве­дено, например, в работах [1, 2]). Сущность этого принципа заключается в следующем: если в любом выражении для кристаллооптики заменить все величины из первого рада (см. ниже) соответствующими величинами из второго ряда, и наоборот, то полученное выражение такие будет иметь правильный физический смысл. Два упомянутых ряда имеют вид

С помощью принципа соответствия можно просто получить ряд по­лезных соотношений. В частности, из выражения (2.17) посредством ука­занной замены получим формулу Френеля для лучевой скорос­ти волны, в которой направление луча задано единичным вектором :

. (2.20)

Это уравнение такие имеет два решения и относительно лу­чевых скоростей. Соответствующие отношения и можно найти по выражению, полученному из (2.18):

,

Отсюда аналогично, с помощью материальных уравнений , можно доказать, что отношения и вещественны, т.е. обе эти волны линейно поляризованы. Кроме того, из (2.19) с помощью принципа соответствия также получим, что векторы и этих волн поляризованы ортогонально друг другу.

Таким образом, в общем случае в анизотропной среде вектор на­правления распространения волнового фронта и вектор направления распространения энергии не совпадают. Для каждого из этих направле­ний соответствующие уравнения Френеля определяют фазовые и лучевые и скорости волн, каждая из которых линейно поляризо­вана и направления колебаний векторов и , в первом случае и век­торов и во втором ортогональны друг другу. При этом открытым ос­тается вопрос: каким образом относительно ориентированы векторы и и относительно : - векторы и ? Ответ на этот вопрос бу­дет дан в следующем разделе.