Матричный метод решения систем линейных уравнений

Для систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными

введем следующие обозначения:

, .

В этих обозначениях система уравнений примет вид: .

Если определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу , которая может быть вычислена по следующей формуле:

, где ─ определитель, получаемый из матрицы А путем вычеркивания i- ой строки j- го столбца (алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A).

Умножим обе части матричного уравнения слева на :

- решение системы.

 

Пример 7.1. Записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.

Решение: Запишем систему уравнений в матричном виде:

 

Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:

, , .

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Решение системы найдем по формуле: .

Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице . Она находится следующим образом:

, где ─ соответствующие алгебраические дополнения матрицы .

; ;

; ;

; ;

; ;

;

;

.

, , значит, , , .

Ответ: ; ; .

Решить задачи:

1.106. Решить ее средствами матричного исчисления:

1.107. Решить ее средствами матричного исчисления:

1.108. Решить ее средствами матричного исчисления:

1.109. Решить ее средствами матричного исчисления.

 

Практическое занятие 8