Операции над векторами

Разложение произвольного вектора по трем некомпланарным векторам. Операции над координатами векторов. Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

Если , то

1) - длина вектора;

2) ;

3) , k - число;

4) .

Если заданы две точки A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то

1)

2) если , тогда координаты точки С, делящей отрезок в заданном отношении, находятся по формулам:

В частности, если С – середина отрезка, то

.

 

Пример №12.1. По координатам ; ;

вершин треугольника найти длины сторон и .

Решение: Длины сторон и равны длинам векторов и .

Найдем координаты векторов и ;

, .

Длины векторов найдем по формуле: .

, .

Ответ: ; .

Пример № 12.2. Найдем разложение вектора по базису трех векторов , и , то есть , где - неизвестные величины, для нахождения этих величин составим систему уравнений:

 

, из условия .

Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:

Таким образом, .

Ответ: .

Решить задачи:

1. Вычислить модуль вектора = {6; 3; -2}.

2. Даны две координаты вектора , .Определить его третью координату при условии, что | | = 13.

3. Определить начало вектора = {2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2).

4. Вычислить направляющие косинусы вектора =

5. Вектор составляет осями ох и оz углы Какой угол он составляет с осью ?

6. По данным векторам построить каждый из следующих векторов: 3) 2 + 4) .

7. Даны: | | = 13, | | = 19 и | | = 24. Вычислить | |.

8. Даны два вектора = {3; -2; 6} и {-2, 1, 10} определить проекции на координатные оси следующих векторов: 5) 2 +3 , 6) .

9. Даны три вершины параллелограмма ABCD: , , . Найдите вершину D.

10. Даны точки A (-1; 5; -10), В (5; 7; 8), С(2; 2; -7) и D (5; -4; 2). Проверить, что векторы коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены в одну или противоположные стороны.

11. Найти орт вектора = {6; -2; -3}.

12. На плоскости даны два вектора = {2; 3} и = {1; 2}. Найти разложение вектора = {9; 4} по базису и .

13. Даны три вектора = {3; 2; -1}, = {-1; 1;-2} и> = {2; 1; -3}. Найти разложение вектора = {11; -6; 5} по базису , , > .

14. Даны четыре вектора = {2; 1; 0}, {1, -1, 2}, = {2; 2; 1}и = {3; 7; -7}. Определить разложение вектора по базису .