Скалярное произведение векторов

1) .

2) Если , то , -

координатная форма скалярного произведения.

3) ;

4) ;

5) .

Пример 13.1. Даны вершины треугольника ; ; .

Найти косинус угла между сторонами и .

Решение: По формуле: .

.

Ответ: .

Пример 13.2. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

, , , , .

Решение: 1) Одна из диагоналей параллелограмма равна , другая ─ .

,

,

Ответ: ; .

2) Найдем косинус угла между векторами и :

Ответ: .

Решить задачи:

15. Найти скалярное произведение векторов и , если А(2;3;0), B(1;-1;2), C(1;-1;0) и D(1;1;1);

16. Найти скалярное произведение векторов и , если А(2;1;-1), B(1;1;0),C(0;-1;0) и D(2;1;-3);

17. Найдите скалярное и векторное произведение векторов .

18. Даны векторы . Вычислите угол между ними.

19. Найти угол между векторами и , если А(2;1;0), B(0;-1;2), C(0;-1;0) и D(1;-1;1);

20. Векторы и образуют угол = , зная, что | | = 3, | | = 4 вычислить (3 - 2 ) ( + 2 ); Найти модуль вектора > = 3 - 2 ; вычислить угол между векторами = – b и = - 2 ; Найти проекцию .

21. Даны векторы = {4; -2; 4}, = {6; -3; 2}. Вычислить а) (2 - 3 ) ( + 2 ),

б) () .

22. Даны три вектора = {1; -3; 4}, = {3; -4; 2} и = {-1; 1; 4}. Вычислить .

23. Даны вершины четырехугольника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.

24. Вычислить какую работу производит сила = {3; -5; 2}, тогда её точка приложения перемещается из начала в конец вектора = {2; -5; -7}

25. Даны вершины треугольника А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0) и С(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине B

26. Найти целое значение параметра m, при котором векторы ортогональны.

 

Практическое занятие 14