Способи визначення координат центра ваги

⇐ Предыдущая 27 28 29 30 31 323334 35 36 Следующая ⇒

1. Спосіб симетрії. Якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії, то його центр ваги знаходиться відповідно в площині, на осі або в центрі симетрії.

Рис. 9.6

Доведемо це твердження для тіла, що має площину симетрії (рис. 9.6). Розташуємо координатну площину хОу у площині симетрії (на рис. 9.6 ця площина заштрихована). Візьмемо в тілі дві точки

, які розташовані симетрично відносно площини хОу. У

цих точок збігаються координати , а координати розрізняються тільки знаком. Виділимо навколо точок , рівні елементарні об’єми . Підсумуємо додатки:

Розглянувши всі елементарні об’єми, отримаємо:

= 0

і обчислимо координату центра ваги тіла за формулою (9.12):

Це означає, що центр ваги розглядуваного тіла знаходиться у площині симетрії.

Аналогічно можна довести твердження для тіла, що має вісь або центр симетрії.

Приклади. Розглянемо декілька прикладів.

а) прямолінійний стержень Рис. 9.7	Центр симетрії такого стержня є точка у середині стержня. Отже, центр ваги прямолінійного стержня – точка С – знаходиться у середині стержня (рис. 9.7).
б) прямокутник Рис. 9.8	Центром симетрії прямокутника є точка перетину його діагоналей. Тоді центр ваги прямокутника – точка С – також знаходиться у точці перетину діагоналей

(рис. 9.8). Як відомо, діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

в) коло Рис. 9.9

Центром симетрії, а значить і центром ваги кола є його центр (рис. 9.9).

2. Спосіб розбиття.

Якщо тіло можна розбити на скінченне число таких часток, для яких положення центрів ваги відомі, то координати центра ваги тіла можна обчислити за формулами (9.10), (9.12), (9.14) або (9.17).

Приклад 1. Визначити координати центра ваги площі (рис. 9.10).

Рис. 9.10

Розв’язання. Розіб’ємо площу на два прямокутники, центри ваги яких С ₁ і С ₂ знаходяться в точках перетину діагоналей. Виберемо систему координат Оху. Дані про координати центрів ваги прямокутників і їх площі запишемо в табл. 9.1.

Таблиця 9.1

k	x_k	y_k	S_k
	1,5 a	4 a	6 a ²
	2,5 a	1,5 a	15 a ²

Координати центра ваги площі знайдемо за формулами (9.14):

Значення координат точки С (2,2 а; 2,2 а) свідчать, що вона лежить на бісектрисі кута, проведеної з центра координат, яка є лінією симетрії площі.

3. Спосіб доповнення (або від’ємних площин). Якщо тіло має порожнину (виріз), то цю порожнину (виріз) можна розглядати як тіло з від’ємною вагою (площею) і для розрахунків використовувати спосіб розбиття.

Приклад 2. Розглянемо задачу прикладу 1.

Рис. 9.11

Розв’язання. Уявимо площу як квадрат (1) зі сторонами

, з якого вирізали квадрат (2) зі сторонами

(рис. 9.11). Площу останнього квадрата будемо вважати від’ємною. Дані про координати центрів ваги квадратів і їх площі запишемо в табл. 9.2.

Таблиця 9.2

k	x_k	y_k	S_k
	2,5 a	2,5 a	25 a ²
	4 a	4 a	-4 a ²

Координати центра ваги площі знайдемо за формулами (9.14):

4. Спосіб інтегрування. Якщо тіло неможливо розбити на скінченне число часток, у формулах (9.10), (9.12), (9.14), (9.17) переходять до інтегралів.

Наприклад, формули (9.14) матимуть вигляд:

, (9.18)

де інтеграли поширюються на площу .