Центри ваги простіших фігур

Розглянемо декілька простих фігур, з яких можуть складатись більш складні фігури.

а) трикутник     К   Рис. 9.12

Скористаємось способом роз-биття і розділимо трикутник АВД на елементарні смужки, провівши лінії, паралельні стороні АД (рис. 9.12). Кожну таку смужку можна прийняти за прямокутник, центр симетрії якого лежить у середині, тобто на медіані ВК

трикутника. Розглядаючи смужки, паралельні стороні ВД, приходимо до висновку, що центр ваги трикутника має лежати на медіані AL. Отже, центр ваги трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. Ця точка, як відомо, ділить кожну із медіан у відношенні 1:2, тобто , .

б) дуга кола

 

 

Рис. 9.13

 

Розглянемо дугу АВ кола радіусом R з центральним кутом (рис. 9.13). Направимо вісь Ох по осі симетрії дуги, яка є бісектрисою кута . Центр ваги дуги кола лежить на осі симетрії, тобто , і залишається знайти . Для цього скористаємось формулою

, (9.19)

яка вийде, якщо у формулі (9.17) перейти до інтеграла. Для елементарної частки довжини , як виходить з рис. 9.13, , , . Тоді

. (9.20)

в) коловий сектор

 

Рис. 9.14

Розглянемо коловий сектор з центральним кутом і радіусом R (рис. 9.14). Направимо вісь Ох по осі симетрії сектора, яка є бісектрисою кута . Центр ваги сектора лежить на осі симетрії, тобто . Розіб’ємо коловий сектор на елементарні сектори (заштрихований на рис. 9.14), кожен з котрих можна прийняти за рівнобедрений трикутник. Отже, центр ваги кожного елементарного трикутника лежить на відстані від початку координат. Геометричним місцем центрів ваги всіх елементарних трикутників буде дуга кола радіусом . У цьому випадку можна скористатись формулою для центра ваги дуги кола (9.20):

. (9.21)

Зауваження. У формулах (9.20), (9.21) кут треба брати в радіанах.