Приклад 3.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник . Ребро перпендикулярно площині основи, . Через середину ребра перпендикулярно до ребра проведемо січну площину і знайдемо площу отриманого перерізу.

Побудуємо зображення.

Нехай чотирикутник з його діагоналями і являється зображенням даної піраміди (мал.).

1) медіана трикутника ,

2) точка - середина ребра ,

3) ,

4) - медіана трикутника ,

5) .

Для того щоб побудувати , спочатку побудуємо . Зазначимо, що в прямокутному трикутнику і тому . Тоді з трикутника , де , знаходимо, що . Таким чином, для того щоб відрізок було зображенням перпендикуляра до ребра , повинна виконуватись рівність:

, або , звідси знаходимо, що , тобто .

Далі ми продовжимо побудову в такій послідовності:

6) точка така, що ,

7) ,

8) ,

9) .

Доведемо, що площина чотирикутника перпендикулярна ребру . Дійсно, , тобто . Крім того, за побудовою . Тоді і . Далі і , тобто . Таким чином, переріз задовільняє умовам залачі і, тому, являється шуканим.

Зрозуміло, що так як січна площина перпендикулярна даній прямій і проходить через дану точку, яка належить поверхні піраміди, визначена цими умовами, існує і при тому тільки одна.

Побудову зображення закінчено, і можна перейти до подальших етапів розв’язання.

Дано:

- піраміда, - вершина, , , , , - переріз піраміди, .

Знайти:

Розв’язання:

Для того щоб розрахувати дану площу, визначимо спочатку вид чотирикутника .

З прямокутних трикутників і маємо відповідно:

і .

Але . Таким чином, .

Оскільки , то - проекція ребра на площину . Але . Тоді і .

З подібності трикутників і

,

звідси .

З подібності трикутників і

,

звідси .

Але , тобто , а тоді .

Таким чином, чотирикутник має ту особливість, що в нього

Далі не важко побачити, що трикутники і і тому . Але і , тобто .

Звідси, ,

а тоді, .