Принцип построения адаптивных систем на основе метода скоростного градиента

Метод скоростного градиента (СГ) применяется для параметрического управления обобщенным настраиваемым объектом, заданным свои уравнением состояния:

, (4.3.1)

где ― гладкая функция своих аргументов, линейно зависимая от настраиваемых параметров . Локальныйнеотрицательный функционал настройки явно зависит от фазовых координат и не зависит явно от настраиваемых параметров . Полная производная по времени вычисляется очевидным образом с учетом уравнения (4.3.1):

(4.3.2)

В данном случае примем, что функционал явно от времени не зависит. Тогда градиент по настраиваемым параметрам принимает вид:

(4.3.3)

Алгоритм скоростного градиента (СГ) определяет процедуру изменения настраиваемого вектора параметров , в соответствии с дифференциальным уравнением первого порядка – алгоритмом градиентного метода:

(4.3.4)

Интегрируя (2.3.4) на интервале времени , получаем алгоритм СГ с интегральным оператором . Структура обобщенного настраиваемого объекта с алгоритмом управления (4.3.4) изображена на рис. 4.3.1.

Теперь полагаем, что для настройки регулятора в составе обобщенного настраиваемого объекта используется не вектор состояния, а переменные на его выходе, образующие вектор . Желаемые переменные определяются уравнением эталонной модели и обозначаются как . Функционал выберем квадратичным с аргументом :

(4.3.5)

где матрица весовых коэффициентов задается.

Тогда можно записать:

.

Алгоритм скоростного градиента для вычисления параметров настройки обобщенного настраиваемого объекта, заданного уравнениями типа (4.3.1) с желаемой динамикой изменения выходов и целью адаптации (2.3.5) приобретает следующий вид:

(4.3.6)

Для линейного нестационарного оператора в уравнении обобщенного настраиваемого объекта (1):

(4.3.7)

где ― параметрическое управление со стороны блока алгоритмов адаптации, имеем:

Тогда алгоритм скоростного градиента в т.н. дифференциальной форме для линейного нестационарного обобщенного настраиваемого объекта принимает вид:

(4.3.8)

В (8) ― ошибка адаптации; .

Наряду с алгоритмами СГ в дифференциальной форме могут применяться разнообразные модификации алгоритма СГ. При выполнении проекта рекомендуется исследовать моделируемую адаптивную систему с использованием модификации алгоритма СГ (4.3.4) в т.н. конечной форме:

, (4.3.9)

где ― начальное значение вычисляемого параметра . Заметим, что если вектор-функция удовлетворяет т.н. условию псевдоградиентности , то алгоритмы типа (9) называют алгоритмами скоростного псевдоградиента. Эти алгоритмы есть уравнения относительно . Тогда, очевидно, алгоритмы скоростного градиента в упрощенной конечной форме применимы, если они разрешимы относительно искомого решения . Показано, что для этого достаточно, чтобы функция не зависела явно от искомого решения или удовлетворяла условию Липшица:

при .