Студопедія
рос | укр

Головна сторінка Випадкова сторінка


КАТЕГОРІЇ:

АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія






Боргові цінні папери, емітовані Національним банком України,у портфелібанку на інвестиції


Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 626



Вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать P(A|B).

Классическая схема. Пусть событиям A и B благоприятствуют NA и NB элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии B. Поскольку событие B произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из NB элементарных исходов, составляющих событие В. Значит, теперь уже при определении степени возможности события A необходимо выбирать только из NB возможных исходов, причем событию A благоприятствуют NAB исходов, при которых происходят и событие А, и событие B, или, другими словами, происходит событие AB. При этом по-прежнему будем считать все NB входящих в событие B исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность P(A|B) события A при условии события B в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа NAB исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий A и B, к числу NB исходов, благоприятствующих событию В, т.е.

Статистический подход. Пусть n – общее число экспериментов; nA – число экспериментов, в которых наблюдалось событие A; nB – число экспериментов, в которых наблюдалось событие B, nAB – число экспериментов, в которых наблюдалось событие AB. Условной частотой события A при условии, что B произошло естественно назвать частоту события A, но только не среди всех повторений опыта n, а лишь среди тех, в которых наблюдалось событие В, т.е.

Определение. Условной вероятностью события A при условии (наступлении) события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B:

При этом предполагают, что .

В связи с появлением термина "условная вероятность" будем вероятность события называть также безусловной вероятностью события.

Теорема. Условная вероятность P(A|B) обладает всеми свойствами безусловной вероятности P(A).

Замечание. Условная вероятность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом пространстве Ω1 элементарных исходов, совпадающем с событием B.

Геометрическая интерпретация условной вероятности. При практическом вычислении условной вероятности события A при условии, что событие B произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве Ω элементарных исходов, а на новом пространстве Ω1 = B элементарных исходов.

Теорема умножения вероятностей (формула для вероятности произведения нескольких зависимых событий). Если A = A1A2...An (т.е. А − пересечение событий A1, A2,..., An) и P(А)> 0, то справедливо равенство P(A)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An 1), называемое формулой умножения вероятностей.

Доказательство. Поскольку , а то и . Учитывая это неравенство, согласно определению условной вероятности, имеем Умножая обе части этого равенства на получаем Аналогично находим . Тогда Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения вероятностей.

Определение. События A и B, имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B. В противном случае события A и B называют зависимыми.

Теорема. События A и B, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда

Теорема. Если события A и B независимые, то независимыми также являются пары событий и B, A и , и , если вероятности соответствующих событий ненулевые.

Определение. События А1, A2, ..., Аn называют независимыми в совокупности, если вероятность пересечения любых двух различных событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей; ...; вероятность пересечения всех событий равна произведению их вероятностей.

Формула для вероятности произведения нескольких независимых событий). Если A = A1A2...An (т.е. А − пересечение событий A1, A2,..., An), P(А)> 0 и события А1, A2, ..., Аn независимы в совокупности, то справедливо равенство P(A)= P(A1)P(A2)P(A3)...P(An).

Теорема. Если события А1, A2, ..., Аn независимы в совокупности, то и события независимы в совокупности. Замечание. (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеется следующая связь: 1) если A и B − несовместные события (и , и ), то они обязательно зависимые (убедитесь самостоятельно); 2) если A и B − совместные события, то они могут быть и зависимыми, и независимыми; 3) если A и B − зависимые события, то они могут быть и совместными, и несовместными. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения − независимость событий.

Формула для вероятности суммы нескольких совместных независимых событий.В прошлой лекции была получена формула:

В случае независимых, но совместных событий она примет вид


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Боргові цінні папери, що рефінансуються Національним банком України, у портфелі банку на інвестиції | Резервипід знецінення боргових цінних паперів, щорефінансу-ються Національним банком України
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | <== 98 ==> | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 |
Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.207 сек.) російська версія | українська версія

Генерация страницы за: 0.207 сек.
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7