Тема: Численное решение уравнений в частных производных

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности, а именно, найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(7.1)

начальному условию

, (7.2)

и краевым условиям

, . (7.3)

Задачу будем решать методом сеток (конечных разностей). В основе метода лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Ограничимся случаем двух независимых переменных. Пусть в плоскости хОу имеется некоторая область с границей (рис. 1).

Рис 1

Построим на плоскости два семейства параллельных прямых:

, , i=0, 1, 2, …, k=0, 1, 2, …

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или Оу на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области G+Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем чем шаг, от границы Г. Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 1). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С). Обозначим

Значения искомой функции и=и(х, у) в узлах сетки будем обозначать через В каждом внутреннем узле заменим частные производные разностными отношениями:

В граничных точках воспользуемся формулами вида

, .

Аналогично заменяются частные производные второго порядка

Сделаем переход от уравнения вида к разностному уравнению

- =0.

После замены и преобразований получаем уравнение для вычисления внутренних узлов

(7.4)

При разностное уравнение (7.4) устойчиво [7]. Наиболее простой вид уравнение имеет при В этом случае уравнение (7.2) запишется в виде

(7.5)

Пусть (x, t) – точное решение задачи (7.1)-(7.3), – отклонение точного значения от вычисленного по методу сеток. Тогда погрешность вычислений может быть вычислена по формуле

, (7.6)

где = , где