Касательная и нормаль к плоской кривой

Касательной к кривой в ее точке М ₀(х ₀, у ₀) называется предельное положение М ₀ Т секущей ММ ₀, когда точка М стремится к М ₀ вдоль данной кривой.

Уравнение касательной к кривой в точке М ₀(х ₀, у ₀): . (1)

Рис. 19

 

Нормалью к кривой в точке М ₀(х ₀, у ₀) называется прямая, про­ходящая через М ₀ и перпендикулярная к касательной в данной точке (рис. 19).

Уравнение нормали к кривой в точке М ₀(х ₀, у ₀):

(2)

Примеры.

1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой f (x) = x ³ в точке М ₀(2, 8).

Решение. Точка М ₀ принадлежит кривой, это легко увидеть, подставив координаты точки М ₀ в уравнение кривой: 8 = 2³.

Находим производную данной функции и ее значение при
х ₀ = 2: .

Подставляя значения в уравнения (1) и (2), получим соответственно:

у – 8 = 12(х – 2) или 12 х – у – 16 = 0 – уравнение касательной;

или х + 12 у – 98 = 0 – уравнение нормали.

2. Составить уравнение касательной и нормали к параболе
у = х ² – 4 х в точке, где х ₀ = 1.

Решение. Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу точки касания х ₀ = 1, найдем ее ординату:

у₀ = 1² – 4 × 1 = –3, М₀(1, –3).

Найдем .

Подставляя х ₀, у ₀ и f ^/(1) в уравнения (1), (2), получим уравнения касательной и нормали:

y – (–3) = –2(x – 1) или 2 х + у + 1 = 0.

или х – 2 у – 7 = 0.

 

3.8. Исследование функций и построение их графиков

3.8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел х ₁ и х ₂ из этого интервала из неравенства х ₂ > х ₁ следует неравенство f (х ₂) > f (х ₁) (рис.20).

Рис. 20

 

Если же из неравенства х ₂ > х ₁ следует нестрогое неравенство f (х ₂) f (х ₁), то функция называется неубывающей в этом интервале.

Функция f (x) называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел х ₁ и х ₂ из этого интервала из неравенства
х ₂ > х ₁ следует неравенство f (х ₂) < f (х ₁) (рис.21).

 

Рис. 21

 

Если же из неравенства х ₂ > х ₁следует нестрогое неравенство
f (х ₂) £ f (х ₁), то функция называется невозрастающей в этом интервале.

Функции возрастающие и убывающие, а также функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

 

Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале убывает.

Эта теорема выражает достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале.

 

Правило. При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует прежде всего определить область существования этой функции, а затем решить неравенства и .

 

Пример 1. Определить интервал возрастания и убывания функции f (x) = x ³ – 12x + 11.

Решение. Областью существования данной функции является вся ось Ох (функция существует при любом значении х).

Ее производная . Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство 3 x ² – 12 > 0.

т.е. и или .

Следовательно, функция возрастает в двух бесконечных интервалах:
(–¥, –2) и (2, ¥).

Чтобы определить интервал убывания функции, решим неравенство 3 х ² –12 < 0 или , т.е. –2 < x < 2 или . Отсюда делаем вывод, что функция убывает в интервале
(–2; 2). Производная функции 3 x ² – 12 обращается в нуль при x = –2 и x = 2. В точке x = –2 функция переходит от возрастания к убыванию, в точке x = 2 она от убывания переходит к возрастанию.

 

Пример 2. Определить интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена в полуоткрытом интервале
0 £ х < ¥; ее производная во всем этом интервале. Поэтому функция монотонная, она возрастает во всей области определения.

 

3.8.2. Максимум и минимум (экстремум) функции. Наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке

Определение максимума. Говорят, что функция имеет в точке максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .

Иначе: функция имеет максимум при , если для любых как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых .

Определение минимума. Говорят, что функция имеет в точке минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .

Иначе: функция имеет минимум при , если для любых как положительных, так и отрицательных , но достаточно малых по абсолютной величине.

На рис. 22 изображена функция, определенная на отрезке [ a, b ], которая при х = х ₁ и х = х ₃ имеет максимум, при х = х ₂ и х = х ₄ –минимум.

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а значение функции в этой точке называется экстремальным.

Рис.22

3.8.3. Необходимое условие экстремума

Если функция f (x) имеет экстремум при х = х ₀, то ее первая производная в этой точке равна нулю, или ¥, или не существует.

Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная , или не существует.

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, бесконечности, а также те, в которых она не существует, называются критическими.

Указанный признак экстремума является только необходимым, но не достаточным. Поэтому, определив критические точки, в которых функция может достигать экстремума, надо каждую из точек в отдельности исследовать на основании достаточных условий существования экстремума.

 

3.8.4. Достаточное условие существования экстремума

Если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функции меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума. Если при переходе слева направо через критическую точку первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума. Если же при переходе через критическую точку первая производная функции не меняет знак, то экстремума нет.

 

3.8.5. Правило исследования функции на экстремум

Для исследования функции на экстремум по первой производной надо:

1. Найти область определения функции.

2. Найти .

3. Решить уравнение , а также определить те значения х, при которых или не существует, т.е. найти критические точки.

4. Все критические точки расположить в порядке возрастания их абсцисс в интервале (a, b).

.

5. Внутри каждого из интервалов ¼, взять любую точку и установить в этой точке знак первой производной функции.

6. Рассмотреть знаки в двух соседних интервалах, переходя последовательно слева направо от первого интервала к последнему. Сделать вывод.

7. Найти значение функции в точках, где она достигает экстремума.

3.8.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке [ a, b ], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти значения функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка [ a, b ].

Правило. Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо:

1) определить критические точки функции;

2) вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку [ a, b ] и на концах отрезка [ a, b ];

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найти экстремум функции . Определить ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [–2, 4].