Решение. 1) Областью существования функции является весь бесконечный интервал (–¥, ¥)

1) Областью существования функции является весь бесконечный интервал (–¥, ¥).

2) Находим : .

3) Решаем уравнение т.е. ;

х (х ² – 2 х – 3) = 0 Þ х ₁ = 0, х ₂ = 3, х ₃ = –1.

4) Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: –1; 0; 3.

5) Рассмотрим интервалы .

Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку

и определим в этой точке знак первой производной. В интервале возьмем, например, точку х = –2;

. В интервале (–1, 0) возьмем точку , ; в интервале (0, 3) возьмем точку
х = 1, ; в интервале (3, ¥) возьмем точку х = 4, . Точку в интервале можно брать любую.

В критической точке х = –1 имеет место минимум, в точке
x = 0 – максимум, в точке х = 3 – минимум.

Найдем экстремальные значения функции:

, , .

Определим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [–2, 4]. Этот отрезок содержит внутри себя все критические точки. Так как значения функции в критических точках уже вычислены, остается вычислить значения функции на концах отрезка:

; .

Сравнивая все вычисления, видим, что наибольшего значения функция достигает на левом конце отрезка при х = –2, а наименьшего – в критической точке х = 3.

 

3.8.7. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой вниз в этом интервале.

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление ее выпуклости.

Рис. 23

 

На рис.23 в интервале (а, b) кривая выпукла вверх, в интервале (b, с) она выпукла вниз, а точка B есть точка перегиба.

Направление выпуклости кривой характеризуется знаком второй производной : если в некотором интервале , то кривая выпукла вниз, а если , то кривая выпукла вверх в этом интервале.

Абсциссы точек перегиба кривой можно найти по следующему правилу:

1) найдем и точки x, в которых или не существует;

2) определим знак слева и справа от каждой из этих точек. Исследуемая точка x будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нее имеет разные знаки.

Пример 4. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривой .