Решение. 1. Областью определения данной функции, как и всякого многочлена, является вся числовая ось

1. Областью определения данной функции, как и всякого многочлена, является вся числовая ось.

2. Функция не имеет точек разрыва.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.

, , .

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

При x = 0 из данного уравнения найдем y = 0, т.е. точка (0, 0).

При y = 0 найдем x = 0 и x = 4, т.е. точки (0, 0) и (4, 0).

5. Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как она всюду непрерывна. Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты:

.

Следовательно, наклонных асимптот нет.

6. Найдем точки экстремума функции. Первая производная функции равна:

Найдем критические точки в точках х = 0 и х = 3, т.е. функция имеет две критические точки. Разобьем область определения функции критическими точками на интервалы, определим знак производной в каждом интервале и поведение функции. Для удобства построим следующую таблицу.

Знак y΄ ΄	+		+		–
				5, 4

Следовательно, х = 3, точка максимума .

В интервале (–¥, 0) функция возрастает, а в интервале
(3, ¥) убывает.

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

.

при х = 0 и х = 2, т.е., х = 0 и х = 2 могут быть абсциссами точек перегиба. Для их исследования удобно построить таблицу:

Таблица 1

х	(–¥, 0)		(0, 2)		(2, ¥)
Знак у //	–		+		–
у	Ç		È	3, 2	Ç

 

Следовательно, график имеет две точки перегиба (0, 0) и (2; 3, 2). В интервале (–¥, 0) и (2, ¥) график обращен выпуклостью вверх, а в интервале (0, 2) – выпуклостью вниз. Используя полученные резуль­таты, построим график данной функции. Удобно взять дополнительную точку: х = –2, у = –9, 6, т.е. точка (–2; –9, 6) (рис. 24).

Рис. 24