Оптимальность в форме равновесия

Проанализируем ситуации этой игры с точки зрения их устойчи­вости. Ситуация (Б, Б) являет­ся неустойчивой, так как в этой так как в этой ситуации игрок 1 может получить лучший для себя исход, изменив стратегию Б на стратегию Р. В этом случае он получит выигрыш 3 вместо 1. То же самое справедливо в ситуации (Б, Б) и для игрока 2. Точно так же неустойчивой является и ситуация (Р, Р).

Итак, неустойчивость какой-либо ситуации проявляется в том, что в случае ее возникновения ей грозит распад, который обусловлен возможностями одного из игроков получить лучший для себя исход путем одностороннего изменения своей стратегии.

Ситуации (Б, Р) и (Р, Б), напротив, обе являются устойчивы­ми: если они возникли, то ни у одного из игроков нет оснований отходить от них, односторонне изменив свою стратегию. Устойчи­вость, например, ситуации (Б, Р) проявляется в том, что каждый из водителей, узнав о стратегии другого, будет придерживаться выбранной им стратегии: первый будет продолжать ехать на низкой скорости, а второй – на высо­кой.

Описанные в примере устойчивые ситуации называются в тео­рии игр ситуациями равновесия (или равновесными в смысле Нэша — по имени американского математика Джона Нэша). В общем случае для биматричной игры, заданной в виде табл.6.1, равновесность ситуации означает, что для всех i=1,…n; j=1,…,m .

Равновесные ситуации можно рассматривать как оптимальные совместные решения, причем оптимальность равновесной ситуации проявляется в отношении ее устойчивости.

Возникает, однако, вопрос: а насколько хороши равновесные ситуации в других отношениях, прежде всего в отношении выигрышей игроков? Ведь каждый игрок может рассматривать выбор своей стратегии как принятие решения в условиях неопределенности (при этом другой игрок выступает в качестве среды) и может выбрать, например, свою максиминную стратегию, гарантирующую ему независимо от действий другого игрока максимин. Не получит ли он в таком случае больший выигрыш, чем в ситуации равнове­сия? Оказывается, что нет, и в этом очень легко убедиться.

Действительно, пусть – ситуация равновесия биматричной игры, представленной табл. 5.3, и – максиминная стратегия игрока 1. Тогда

откуда, используя определение ситуации равновесия, получаем

.

Аналогично получаем

.

Таким образом, в ситуации равновесия каждый из игроков име­ет выигрыш, не меньший, чем «свой» максимин.

Казалось бы, что все в порядке, но тут нас подстерегает довольно серьезная непри­ятность, состоящая в том, что компоненты ситуаций равновесия могут не составить снова ситуации равновесия. Вначале это утверждение кажется парадоксальным: если – ситуация равновесия, то ее компоненты ; составляя их, получаем ту же ситуацию . Но все дело в том, что ситуаций равнове­сия в игре может быть несколько.

В рассмотренном выше примере «два барана» было две ситуации равновесия (Р, Б) и (Б, Р); взяв от первой ситуации первую компоненту, а от второй — вторую, получим не­равновесную ситуацию (Р, Р), приводящую к тому же к наихуд­шему для обоих игроков исходу (именно так поступили два бара­на, хотя неизвестно, руководствовались ли они концепцией равно­весия).

Указанное выше обстоятельство можно пояснить геометриче­ски следующим образом. Представим стратегии игрока 1 точками горизонтального отрезка, а стратегии игрока 2 – точками верти­кального отрезка (см. рис.5.2), тогда все ситуации представляются точками прямоугольника. Множество всех ситуаций равновесия игры образует некоторую область D внутри этого прямоугольника (которая может быть и пустой). Очевидно, что требование, чтобы всякая ситуация, составленная из компонент ситуаций равновесия, снова была ситуацией равновесия, означает с геометрической точки зрения, что область D имеет вид прямоугольника (рис. 5.2.б); такое множество ситуаций равновесия называется поэтому прямо­угольным (заметим, что множество, состоящее из единственной ситуации равновесия, является прямоугольным). Если же множест­во ситуаций равновесия не является прямоугольным, то выбор игроком 1 стратегии, являющейся первой компонентой некоторой ситуации равновесия, не гарантирует образования равновесной ситуации, даже если игрок 2 также выберет стратегию, являющую­ся второй компонентой некоторой ситуации равновесия (рис.5.2,а).

Так как в общем случае множество ситуаций равновесия биматричной игры не является прямоугольным, то мож­но сделать вывод, что оптимальность в форме равновесия относит­ся именно к ситуациям, а не к их компонентам – стратегиям игро­ков.

	Рис.6.2. Равновесные стратегии