Почти антагонистические игры

Биматричная игра называется почти антагонистической, если при переходе от одной ситуации к другой увеличение выигрыша одного из игроков сопровож­дается уменьшением выигрыша другого:

.

Множество ситуаций равновесия почти антагонистической игры обладает следующим важным свойством: во-первых, оно является прямоугольным и, во-вторых, для каждого из игроков его выигрыш в любой ситуации равновесия один и тот же.

Действитель­но, пусть и – две ситуации равновесия почти антагонистиче­ской игры. Рассмотрим часть таблицы игры, образованную строками i1,i2 и столбцами j1, j2 (табл.6.4). Так как – ситуация равновесия, то , а значит, по условию почти антагонистичности . Далее, так как – ситуация равновесия, то . Получаем , откуда . Но ввиду равноправия ситуаций и выполняется и обратное неравенство поэтому . Аналогично Получаем, что ситуация равновесия, причем выигрыши игроков в этой ситуации те же, что и в ситуации равновесия . Таким образом, сформулированное выше свойство ситуаций равновесия почти антагонистической игры доказано.

Таблица 6.4. Матрица почти антагонистической игры

		…		…
		…		…
…	…		…

Предположим теперь, что игрок 1 использует стратегию , являющуюся первой компонентой ситуации равновесия. Тогда для любого j=l,...,m выполняется и по определению почти антагонистиче­ской игры Но, как мы знаем, выигрыш игрока в ситуации равновесия не меньше, чем его максимин, поэтому, обозначая , получаем .

Полученное неравенство означает, что в почти антагонистической игре применение игроком стратегии, являющейся компонентой ситуации равновесия, гарантирует ему по крайней мере его максимин.