ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1. Неопределенный интеграл и его свойства.

Многочисленные математические операции образуют пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование. Дифференциальное исчисление решает следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Обратным действием дифференцирования является интегрирование: для данной функции f(х) найти такую функцию F(х), производная которой равнялась бы заданной функции f(х), т.е.

F'(х) = f(х) (1)

Поставленную задачу можно сформулировать в следующей форме: для данной функции f(х) найти такую функцию F(х), дифференциал которой равнялся бы выражению f(х)d х:

dF(х) = f(х)d х (2)

Функция F(х), связанная с функцией f(х) соотношение (1) или (2), называется ее первообразной.

Так, например, первообразной от функции f(х)= х ² будет функция F(х)= х ³∕3, так как F'(х) = (х ³∕3)' = х ² или то же самое dF = d(х ³∕3) = х ² d х.

В общем случае, если f(х) имеет первообразную функцию F(х), то совокупность [F(х)+С] также будет первообразной для нее, т.к. С' = 0 (С – постоянная величина). Следовательно, для данной функции f(х) может быть не одна, а множество первообразных [F(х)+С], отличающихся на некоторую постоянную интегрирования.

Совокупность первообразных [F(х)+С] для данной функции f(х) или данного дифференциала f(х) d х. называют неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначают ∫f(х)d х. По определению

∫;f(х)d х= [F(х)+С] (3)

- читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс», где f(х) d х – подинтегральное выражение; f(х) – подинтегральная функция; С – постоянная интегрирования; символ ∫ - знак неопределенного интеграла. Под знакомнеопределенного интеграла мы имеем не производную искомой функции, а ее дифференциал. Так как, например, функция F(х)= х ³∕3 является одной из первообразных от функции f(х)= х ², то на основании формулы (3) получим ∫ х ² d х = х ³∕3 + С.

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: [ ∫;f(х) d х ]' = [F(х) + С]' = F'(х) = f(х).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: d[ ∫;f(х) d х ] = d[F(х) + С] = [F(х) + C]'d х = F'(х) d х= f(х) d х.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной: ∫d[F(х) + С] = ∫d F(х) = ∫f(х) d х = F(х + C).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫ к f(х) d х = к ∫f(х) d х.

5. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т.е.:

∫;[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]d х = ∫;f₁(х) d х + ∫;f₂(х) d х - ∫;f₃(х) d х.

Пример:

Найти ∫(х ³+3sin х –8)d х = ∫ х ³d х+ 3∫sin х d х- 8∫d х = х ⁴/4–3cos х –8 х +С.

Используя формулы интегрирования для трех интегралов, при каждом интегрировании получим свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы имеем только одну произвольную постоянную, так как, если С₁; С₂;С₃ – произвольные постоянные, то и величина С равная их алгебраической сумме, также является произвольной постоянной.

 

2. Простейшие способы интегрирования.

а) Непосредственное интегрирование.

Нахождение интегралов функций, основанное на прямом применении свойств неопределенных интегралов и таблицы основных формул интегрирования. Рассмотрим пример нахождения интеграла функции путем непосредственного интегрирования.

Пример:

∫(х –3)²d х = ∫(х ²–6 х +9)d х = ∫ х ²d х - 6∫ х d х +9∫d х = х ³∕3 -3 х ²+9 х +С.

В подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с интегралами функций, которые нельзя найти непосредственным интегрированием. В этом случае необходимо сделать подстановку (заменить переменную).

 

б) Интегрирование подстановкой (замена переменной).

 

Интегрирование подстановкой, или как его часто называют, методом замены переменой, является одним из более эффективных и распространенных методов интегрирования. Способ подстановки состоит в том, чтобы перейти от данной переменной интегрирования к другой переменной с целью упростить подинтегральное выражение и привести его к одному из табличных видов интегралов. При этом выбор подстановки решается исполнителем индивидуально, т.к. не существует общих правил, указывающих какую подстановку в данном случае взять.

Пример: Найти интеграл ∫ е ^2х+3d х.

Введем новую переменную t, связанную с х следующей зависимостью 2 х + 3 = t.

Возьмем дифференциалы от левой и правой частей этого равенства: 2d х = dt; d х =dt/2.

Теперь вместо 2 х + 3 и d х в подинтегральное выражение подставим их значения. Тогда получим: ∫ е ^2х+3d х = ∫ е ^tdt = е ^t + С. Возвращаясь к прежней переменной, получим окончательно выражение:

∫ е ^2х+3d х = е^2х+3 + С.

Чтобы убедиться в правильности взятия интеграла необходимо первообразную функцию е^{2х+ 3} продифференцировать и проверить, будетли ее производная равна подинтегральной функции:

( е^{2х+ 3})' = е^{2х+ 3} · (2 х +3)' = е^{2х+ 3}.

3. Определенный интеграл и его свойства.

Понятие определенного интеграла широко используется во многих областях науки и техники. С его помощью вычисляются площади, ограниченные кривыми, объемы произвольной формы, мощность и работа переменной силы, путь движущегося тела, моменты инерции и многие другие величины.

В подавляющем большинстве случаев понятие определенного интеграла вводится при решении задач определения площади криволинейной трапеции. Пусть имеется непрерывная функция у = f(х) на отрезке [ а,в ]. Фигуру, ограниченную кривой у= f(х) ординатами а А_о, в А _п и отрезком [ а,в ] оси абсцисс называют криволинейной трапецией (рис.1).

Поставим перед собой задачу: определить площадь S криволинейной трапеции а А_оА _пв. Для этого разобьем отрезок [ а,в ] на п не обязательно равных частей и обозначим точки деления таким образом: а = х _о‹ х ₁‹ х₂ ‹ … ‹ х_п = в.

Из точек деления восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой у = f(х). Таким образом, мы всю площадь, ограниченную кривой, разбили на п элементарных криволинейных трапеций. Восстановим из произвольных точек каждого отрезка ∆ х_i ординаты f(С _i) до пересечения с кривой у = f(х). Далее построим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием ∆ х_i и высотой f(С _i). Элементарная площадь i-го прямоугольника будет S _i = f(С _i)(х_i - х_i-1), а вся площадь S _п полученной ступенчатой фигуры будет равна сумме площадей прямоугольников:

S _п = f(С_о)(х ₁ –х _о) + f(С₁)(х₂ –х₁ ) + … + f(С _{п- 1})(х _п –х_{п- 1}).

Для сокращения записи этой суммы вводят символ (сигма) – знак, означающий суммирование величин. Тогда

S _п = .

Эта сумма S _п, которая называется интегральной суммой, может быть или больше или меньше истинного значения данной площади. Наиболее близким значением к истинной величине площади будет предел суммы при условии, что элементарные отрезки будут дробиться (п→ ), а длина самого большого отрезка ∆ х_max будет стремиться к нулю, т.е.:

S = (4)

Этот предел интегральной суммы (если он существует) называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [ а, в ] и обозначают: = (5)

(читается – “определенный интеграл от а до в эф от икс дэ икс”).

Числа а и в называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(х) – подинтегральной функцией; х – переменной интегрирования. Применив формулы (4) и (5) можно записать. Что площадь криволинейной трапеции численно равна интегралу от функции, ограничивающей трапецию, взятому на интервале интегрирования [ а, в ]:

.

Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной, т.е.: = .

2. Определенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого:

[f₁(х) + f₂(х) + … d х ] = f₁(х) d х + f₂(х) d х + ….

3. Постоянный множитель к в подинтегральном выражении выносится за знак интеграла:

к f(х) d х = к f(х) d х.

4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный, сохранив абсолютную величину неизменной:

f(х) d х = - f(х) d х.

5. Если отрезок [ а, в ] разбить на две части [ а, с ] и [ с,в ], то интеграл:

f(х) d х = f(х) d х + f(х) d х.

6. d х = в – а, при а ≠ в. Это свойство вытекает из того, чтонеопределенный интеграл ∫ d х = х, т.е. равен некоторой длине отрезка, началом и концом которой будут точки а и в этого отрезка.

7. Если подинтегральная функция на отрезке [ а, в ] сохраняет постоянный знак, то и определенный интеграл будет представлен числом того же знака, т.е.: f(х)>0 и f(х) d х >0.

Существуют и другие свойства определенного интеграла, которые мы рассматривать не будем.

 

4. Связь между определенным и неопределенным интегралами.

 

а) Формула Ньютона-Лейбница.

 

Несмотря на то, что неопределенный интеграл есть совокупность первообразных, а определенный интеграл есть число, все же между ними имеется определенная связь, впервые установленная Ньютоном и Лейбницем в виде формулы Ньютона-Лейбница. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

= F(в) -F(а).

Рассмотрим пример нахождения определенного интеграла. Пусть нам необходимо найти определенный интеграл вида:

= .

Нахождение определенного интеграла сводится к следующим операциям:

1) находят первообразную для данной подинтегральной функции;

2) вычисляются первообразные для данных частных значений верхнего и нижнего пределов интегрирования;

3) находят разность частных значений первообразной F(в) – F(а).

б) Применение метода замены переменной интегрирования при вычислении определенного интеграла.

При использовании метода замены переменной для вычисления определенного интеграла вводится новая переменная, с помощью которой интеграл сводится к табличному. Одновременно заменяют пределы интегрирования. Рассмотрим эти операции на отдельном примере: ; 1) sin x = t; 2) d(sin x) = dt; cos x d x = dt;

3) а = sin0 = 0; в = sin ;

4) = = е¹ – е⁰ =2,7 –1 =1,7.

5. Дифференциальное уравнение.

а) Общее понятие и определение.

Многие вопросы естествознания, техники и различных отраслей науки сводятся к нахождению неизвестной функции, если известно уравнение, содержащее х,у и производные различных порядков функции f(х): f '(х); f "(х); f "'(х); …; f^{( n)}(x) илидифференциалы df; d²f; d³f; …; dⁿf. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ). В общем виде ДУ можно записать так: F(х,у,у',у",…,у^(п)) = 0.

Для функции у = f(х) одного аргумента дифференциальные уравнения называются обыкновенными; для функции и = f(х,у,z, …,t) нескольких переменных (двух и более) уравнения называются дифференциальными в частных производных.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной или дифференциала. Например, у' = 2 х ² у + 5 – уравнение 1-го порядка,

а у" + у' = 0 - уравнение второго порядка.

Общим решением ДУ к -го порядка называется функция у = f(х,с₁,с₂, …,с _к) от х с произвольными постоянными с₁,с₂, …,с _к, обращающая это уравнение в тождество.

При конкретном значении произвольных постоянных получают частное решение из общего. При этом задаются не сами постоянные, а условие, которому должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и кратко записывается так: при х = х _о; f(х _о ) = у_о; f '(х _о ) = у'_о и т.д. Задача нахождения частного решения удовлетворяющего его начальным условиям, называется задачей Коши.

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида: f₁(x)φ₁(y)d x + f₂(x)φ₂(y)dy = 0 называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Суть такого разделения сводится к тому, чтобы путем некоторых математических операций, произвести группировку переменных, производных, дифференциалов в отдельные слагаемые так, чтобы, они содержали только один вид переменных. Слагаемые, включающие только одну переменную, можно получить, если ДУ разделить на f₂(x)φ₂(y). Тогда получим: .

Интегрируя это уравнение, мы получим общее решение дифференциального уравнения в виде: . Это выражение является общим решением приведенного уравнения.

Пример: 1) у' = 2 х у; = 2 х у; = 2 х d x; ; ln y = x ² + C;

ln y = ln e^x + ln C; ; у = с · e ^x - общее решение. При начальных условиях х =0, у = 2; с =2; у = 2 e ^x - частное решение.

2) у' = 4 х³ (при х =0, у =0). ∫dy = 4∫ x³dx;y = x ⁴ + c; y = x ⁴.

 

 

6. Линейные однородные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами.

 

Уравнение вида: y"+py'+qy=f(x), где p, q – постоянные коэффициенты, а f(x) – некоторая функция, называют линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы рассмотрим уравнение для случаев когда f(x)=0. Если f(x)=0, то уравнение y"+py'+qy=0 называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого дифференциального уравнения, как показал Эйлер, следует искать в виде следующих функций: у = е ^кх, где к – некоторый коэффициент. Подставим значения у' = ке^{к х} и у" = к ²е ^кх, найденные из этой функции в уравнение. Тогда получим: к ²е ^кх + к pе ^кх + qe ^кх = 0 или е ^кх (к² + p к +q) = 0; е ^кх ≠ 0.

Для того чтобы функция у=е ^кх была решением дифференциального уравнения, достаточно, чтобы к² + p к +q = 0.

Это уравнение называют характеристическим уравнением и корни его определяются по формуле:

к_1,2 = -

Эйлер показал, что для ЛОДУ может быть три вида решений:

1-ый вид: если корни к ₁ и к ₂ характеристического уравнения действительные и различные (к ₁ ≠ к ₂), то все решения ЛОДУ даются формулой:

у = с₁ ∙ + с₂ ∙ .

2-ой вид: если корни к ₁ и к ₂ характеристического уравнения действительные и равные к ₁ = к ₂ = к, то все решения ЛОДУ даются в виде такой формулы: у = (с₁ + с₂) е ^кх.

3-й вид: если же корни к_1,2 = ; (i = ) характеристического уравнения комплексные числа, то все решения ЛОДУ даются такой формулой: у = е^{α x} (с₁cos β x +c₂sin β x), где с₁ и с₂ - произвольные постоянные.

Все приведенные выше три вида решений представляют собой общеерешение ЛОДУ. Частные решения находят по заданным начальным условиям:

Пример: у"–6у'+8у = 0; к² -6 к +8 = 0; к_1,2 = 3 ; к ₁ =4; к₂ = 2;

у = с₁ ∙ е^{4 х} + с₂ ∙ е^{2 х} .

ЛЕКЦИЯ №3