Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.




1. Неопределенный интеграл и его свойства.

Многочисленные математические операции образуют пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование. Дифференциальное исчисление решает следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Обратным действием дифференцирования является интегрирование: для данной функции f(х) найти такую функцию F(х), производная которой равнялась бы заданной функции f(х), т.е.

F'(х) = f(х) (1)

Поставленную задачу можно сформулировать в следующей форме: для данной функции f(х) найти такую функцию F(х), дифференциал которой равнялся бы выражению f(х)dх:

dF(х) = f(х)dх (2)

Функция F(х), связанная с функцией f(х) соотношение (1) или (2), называется ее первообразной.

Так, например, первообразной от функции f(х)=х2 будет функция F(х)=х3∕3, так как F'(х) = (х3∕3)' = х2 или то же самое dF = d(х3∕3) = х2 dх.

В общем случае, если f(х) имеет первообразную функцию F(х), то совокупность [F(х)+С] также будет первообразной для нее, т.к. С' = 0 (С – постоянная величина). Следовательно, для данной функции f(х) может быть не одна, а множество первообразных [F(х)+С], отличающихся на некоторую постоянную интегрирования.

Совокупность первообразных [F(х)+С] для данной функции f(х) или данного дифференциала f(х) dх. называют неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначают ∫f(х)dх. По определению

f(х)dх=[F(х)+С] (3)

- читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс», где f(х) dх – подинтегральное выражение; f(х) – подинтегральная функция; С – постоянная интегрирования; символ ∫ - знак неопределенного интеграла. Под знакомнеопределенного интеграла мы имеем не производную искомой функции, а ее дифференциал. Так как, например, функция F(х)=х3∕3 является одной из первообразных от функции f(х)=х2, то на основании формулы (3) получим ∫ х2 dх = х3∕3 + С.

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: [f(х) dх]' = [F(х) + С]' = F'(х) = f(х).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: d[f(х) dх] =d[F(х) + С] = [F(х) + C]'dх= F'(х) dх= f(х) dх.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной: ∫d[F(х) + С] = ∫d F(х) = ∫f(х) dх = F(х + C).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫кf(х) dх = к ∫f(х) dх.

5. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т.е.:

[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = f1(х) dх + f2(х) dх - f3(х) dх.

Пример:

Найти ∫(х3+3sin х–8)dх = ∫х3dх+3∫sin хdх-8∫dх = х4/4–3cos х–8х+С.

Используя формулы интегрирования для трех интегралов, при каждом интегрировании получим свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы имеем только одну произвольную постоянную, так как, если С1; С23 – произвольные постоянные, то и величина С равная их алгебраической сумме, также является произвольной постоянной.

 

2. Простейшие способы интегрирования.

а)Непосредственное интегрирование.

Нахождение интегралов функций, основанное на прямом применении свойств неопределенных интегралов и таблицы основных формул интегрирования. Рассмотрим пример нахождения интеграла функции путем непосредственного интегрирования.

Пример:

∫(х –3)2dх = ∫(х2–6х+9)dх = ∫х2dх- 6∫хdх+9∫dх = х3∕3 -3 х2+9х+С.

В подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с интегралами функций, которые нельзя найти непосредственным интегрированием. В этом случае необходимо сделать подстановку (заменить переменную).

 

б)Интегрирование подстановкой (замена переменной).

 

Интегрирование подстановкой, или как его часто называют, методом замены переменой, является одним из более эффективных и распространенных методов интегрирования. Способ подстановки состоит в том, чтобы перейти от данной переменной интегрирования к другой переменной с целью упростить подинтегральное выражение и привести его к одному из табличных видов интегралов. При этом выбор подстановки решается исполнителем индивидуально, т.к. не существует общих правил, указывающих какую подстановку в данном случае взять.

Пример: Найти интеграл ∫е2х+3dх.

Введем новую переменную t, связанную с х следующей зависимостью 2х + 3 = t.

Возьмем дифференциалы от левой и правой частей этого равенства: 2dх = dt; dх =dt/2.

Теперь вместо 2х + 3 и dх в подинтегральное выражение подставим их значения. Тогда получим: ∫е2х+3dх = еtdt = еt + С. Возвращаясь к прежней переменной, получим окончательно выражение:

е2х+3dх = е2х+3 + С.

Чтобы убедиться в правильности взятия интеграла необходимо первообразную функцию е2х+3 продифференцировать и проверить, будетли ее производная равна подинтегральной функции:

( е2х+3)' = е2х+3 · (2х+3)' = е2х+3.

3. Определенный интеграл и его свойства.

Понятие определенного интеграла широко используется во многих областях науки и техники. С его помощью вычисляются площади, ограниченные кривыми, объемы произвольной формы, мощность и работа переменной силы, путь движущегося тела, моменты инерции и многие другие величины.

В подавляющем большинстве случаев понятие определенного интеграла вводится при решении задач определения площади криволинейной трапеции. Пусть имеется непрерывная функция у = f(х) на отрезке [а,в]. Фигуру, ограниченную кривой у= f(х) ординатами аАо , вАп и отрезком [а,в] оси абсцисс называют криволинейной трапецией (рис.1).

Поставим перед собой задачу: определить площадь S криволинейной трапеции аАоАпв. Для этого разобьем отрезок [а,в] на п не обязательно равных частей и обозначим точки деления таким образом: а = хох1х2 ‹ … ‹хп = в .

Из точек деления восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой у = f(х). Таким образом, мы всю площадь, ограниченную кривой, разбили на п элементарных криволинейных трапеций. Восстановим из произвольных точек каждого отрезка ∆хi ординаты f(Сi) до пересечения с кривой у = f(х). Далее построим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием ∆хi и высотой f(Сi). Элементарная площадь i-го прямоугольника будет Si = f(Сi)(хi - хi-1), а вся площадь Sп полученной ступенчатой фигуры будет равна сумме площадей прямоугольников:

Sп = f(Со)(х1 –хо) + f(С1)(х2 –х1 ) + … + f(Сп-1)(хп –хп-1).

Для сокращения записи этой суммы вводят символ (сигма) – знак, означающий суммирование величин. Тогда

Sп = .

Эта сумма Sп , которая называется интегральной суммой, может быть или больше или меньше истинного значения данной площади. Наиболее близким значением к истинной величине площади будет предел суммы при условии, что элементарные отрезки будут дробиться (п→ ), а длина самого большого отрезка ∆хmax будет стремиться к нулю, т.е.:

S = (4)

Этот предел интегральной суммы (если он существует) называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а,в] и обозначают: = (5)

(читается – “определенный интеграл от а до в эф от икс дэ икс”).

Числа а и в называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(х) – подинтегральной функцией; х – переменной интегрирования. Применив формулы (4) и (5) можно записать. Что площадь криволинейной трапеции численно равна интегралу от функции, ограничивающей трапецию, взятому на интервале интегрирования [а,в]:

.

Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной, т.е.: = .

2. Определенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого:

[f1(х) + f2(х) + … dх] = f1(х) dх + f2(х) dх + ….

3. Постоянный множитель к в подинтегральном выражении выносится за знак интеграла:

кf(х) dх = к f(х) dх.

4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный, сохранив абсолютную величину неизменной:

f(х) dх = - f(х) dх.

5. Если отрезок [а,в] разбить на две части [а,с] и [с,в] , то интеграл:

f(х) dх = f(х) dх + f(х) dх.

6. dх = в а, при а в . Это свойство вытекает из того, чтонеопределенный интегралdх = х, т.е. равен некоторой длине отрезка, началом и концом которой будут точки а и в этого отрезка.

7. Если подинтегральная функция на отрезке [а,в] сохраняет постоянный знак, то и определенный интеграл будет представлен числом того же знака, т.е.: f(х)>0 и f(х) dх>0.

Существуют и другие свойства определенного интеграла, которые мы рассматривать не будем.

 

4. Связь между определенным и неопределенным интегралами.

 

а)Формула Ньютона-Лейбница.

 

Несмотря на то, что неопределенный интеграл есть совокупность первообразных, а определенный интеграл есть число, все же между ними имеется определенная связь, впервые установленная Ньютоном и Лейбницем в виде формулы Ньютона-Лейбница. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

= F(в) -F(а).

Рассмотрим пример нахождения определенного интеграла. Пусть нам необходимо найти определенный интеграл вида:

= .

Нахождение определенного интеграла сводится к следующим операциям:

1) находят первообразную для данной подинтегральной функции;

2) вычисляются первообразные для данных частных значений верхнего и нижнего пределов интегрирования;

3) находят разность частных значений первообразной F(в) – F(а).

б)Применение метода замены переменной интегрирования при вычислении определенного интеграла.

При использовании метода замены переменной для вычисления определенного интеграла вводится новая переменная, с помощью которой интеграл сводится к табличному. Одновременно заменяют пределы интегрирования. Рассмотрим эти операции на отдельном примере: ; 1) sin x = t; 2) d(sinx) = dt; cosxdx = dt;

3) а = sin0 = 0; в = sin ;

4) = = е1 – е0 =2,7 –1 =1,7.

5. Дифференциальное уравнение.

а)Общее понятие и определение.

Многие вопросы естествознания, техники и различных отраслей науки сводятся к нахождению неизвестной функции, если известно уравнение, содержащее х,у и производные различных порядков функции f(х): f '(х); f "(х); f "'(х); …; f(n)(x) илидифференциалы df; d2f; d3f; …; dnf. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ). В общем виде ДУ можно записать так: F(х,у,у',у",…,у(п)) = 0.

Для функции у = f(х) одного аргумента дифференциальные уравнения называются обыкновенными; для функции и =f(х,у,z, …,t) нескольких переменных (двух и более) уравнения называются дифференциальными в частных производных.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной или дифференциала. Например, у' = 2х2 у + 5 – уравнение 1-го порядка,

а у" + у' = 0 - уравнение второго порядка.

Общим решением ДУ к-го порядка называется функция у = f(х12, …,ск) от х с произвольными постоянными с12, …,ск , обращающая это уравнение в тождество.

При конкретном значении произвольных постоянных получают частное решение из общего. При этом задаются не сами постоянные, а условие, которому должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и кратко записывается так: при х = хо; f(хо) = уо; f '(хо) = у'о и т.д. Задача нахождения частного решения удовлетворяющего его начальным условиям, называется задачей Коши.

б)Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида: f1(x1(y)dx + f2(x2(y)dy = 0 называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Суть такого разделения сводится к тому, чтобы путем некоторых математических операций, произвести группировку переменных, производных, дифференциалов в отдельные слагаемые так, чтобы, они содержали только один вид переменных. Слагаемые, включающие только одну переменную, можно получить, если ДУ разделить на f2(x2(y). Тогда получим: .

Интегрируя это уравнение, мы получим общее решение дифференциального уравнения в виде: . Это выражение является общим решением приведенного уравнения.

Пример: 1) у' = 2ху; = 2ху; = 2хdx; ; ln y = x2 + C;

ln y = ln ex + ln C; ; у = с · ex - общее решение. При начальных условиях х =0, у = 2; с =2; у = 2 ex - частное решение.

2) у' = 4х3 (при х =0, у =0). ∫dy = 4∫x3dx;y = x4 + c; y = x4.

 

 

6. Линейные однородные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами.

 

Уравнение вида: y"+py'+qy=f(x), где p, q – постоянные коэффициенты, а f(x) – некоторая функция, называют линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы рассмотрим уравнение для случаев когда f(x)=0. Если f(x)=0, то уравнение y"+py'+qy=0 называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого дифференциального уравнения, как показал Эйлер, следует искать в виде следующих функций: у = екх, где к – некоторый коэффициент. Подставим значения у' = кекх и у" = к2екх, найденные из этой функции в уравнение. Тогда получим: к2екх + ккх + qeкх = 0 или екх(к2 +pк +q) = 0; екх ≠ 0.

Для того чтобы функция у=екх была решением дифференциального уравнения, достаточно, чтобы к2 +pк +q = 0.

Это уравнение называют характеристическим уравнением и корни его определяются по формуле:

к1,2= -

Эйлер показал, что для ЛОДУ может быть три вида решений:

1-ый вид: если корни к1 и к2 характеристического уравнения действительные и различные (к1к2), то все решения ЛОДУ даются формулой:

у = с1 + с2 .

2-ой вид: если корни к1 и к2 характеристического уравнения действительные и равные к1 = к2 = к, то все решения ЛОДУ даются в виде такой формулы: у = (с1 + с2) екх.

3-й вид: если же корни к1,2 = ; (i = ) характеристического уравнения комплексные числа, то все решения ЛОДУ даются такой формулой: у = еαx1cos βx+c2sin βx), где с1 и с2 - произвольные постоянные.

Все приведенные выше три вида решений представляют собой общеерешение ЛОДУ. Частные решения находят по заданным начальным условиям:

Пример: у"–6у'+8у = 0; к2-6к +8 = 0; к1,2 =3 ; к1 =4; к2 =2;

у = с1 ∙ е4х + с2 ∙ е2х.


ЛЕКЦИЯ №3







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 1531. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия