Оценка параметров моделей.

Для оценки параметров в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, применяется МНК к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lny, 1/y.

Например, для оценки параметров степенной функции у=ах^bE применяется МНК к линеаризованному уравнению lny=lna+blnx+lnE, т.е. решается система нормальных уравнений:

(Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр а - косвенным путем после потенцирования величины lna.)

Итак, оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:

Соответственно если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным) , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам,

Вследствие этого оценка параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенной.

Проиллюстрируем это на примере экспоненциальной функции y=e^a+bx..Прологарифмировав, имеем: lny=lna+xlnb. Применяя МНК, минимизируем . Система нормальных уравнений составит:

Из первого уравнения видно, что

Предположим, что фактические данные сложились так, что . Тогда , т е параметр а представляет собой среднюю геометрическую из значений переменной у. Между тем в линейной зависимости y_x^T=a+bx при параметр , т. е. средней арифметической. Поскольку средняя геометрическая всегда меньше средней арифметической, до и оценки параметров, полученные из минимизации , будут несколько смещены (занижены).

Практическое применение экспоненты возможно, если ре­зультативный признак не имеет отрицательных значений. Поэто­му если исследуется, например, финансовый результат деятель­ности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована. Ес­ли экспонента строится как функция выравнивания по динами­ческому ряду для характеристики тенденции с постоянным тем­пом, то у = аb^t, где у — уровни динамического ряда; t — хронологические даты, параметр b означает средний за период коэффициент роста. В уравнении у = е^а+bх этот смысл приобретает величина антилогарифма параметра b.