Получение алгебраической формы оптимального решения методом Ли-Юк-Вина

Идея решения этим методом базируется на том свойстве оригиналов и изображений по Лапласу, что если оригинал равен нулю на одной из полуосей времени, то изображение не содержит нулей и полюсов в соответствующей полуплоскости. Образуем из интегрального уравнения (14) функцию времени:

(29)

(29) выполняется при .

 

Тогда изображение этой функции q (t) не должно содержать нулей и полюсов в верхней полуплоскости.

 

Преобразуем правую часть (29) по Фурье:

(30)

Факторизуем спектральную плотность:

и поделим обе части (30) на :

 

Указание: разобьем 2-е слагаемое (31) на сумму 2-х слагаемых. Одно из них содержит нули и полюсы в верхней полуплоскости, другое – в нижней.

(32)

Это операция носит название сепарации. Очевидно, в (32) слагаемые 1-е и 2-е должны взаимно уничтожиться, чтобы не было нулей и полюсов в верхней полуплоскости.

(33)

Примечание: оптимальное решение (33) справедливо только для идеальных операторов в виде так называемого обобщенного оператора воспроизведения, представляющего собой степенной полином:

(34)

Только в этом случае возможно проведение сепарации.

 

Задача. Спроектировать оптимальный фильтр при следующих исходных данных:

Решаем по (38) без учета внутренней помехи . Это фильтр Винера-Колмогорова.

, (35)

где (36)

.

1) (метод неопределенных коэффициентов)

Факторизация:

.