Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица применяется для замкнутых систем. Однако, как правило, известна W(s) разомкнутой САУ. В этом случая надо ”мысленно” замкнуть систему единичной обратной отрицательной связью (ООС), найти передаточную функцию замкнутой системы по формуле

W_з(s)=

и записать характеристическое уравнение системы

Q₂(s)=0,

 

т.е. a₀sⁿ+ a₁s^n-1+...+ a_n-1s+ a_n=0.

 

Формулировка критерия устойчивости Гурвица: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при a₀>0 все миноры, расположенные по главной диагонали определителя Гурвица, были строго положительны.

Определитель Гурвица строится по коэффициентам характеристического уравнения следующим образом:

D(n*n)= >0

где n-порядок системы.

Из формулировки критерия устойчивости Гурвица следует, что при а₀>0 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы

D₁=a₁>0

D₂= >0

D₃= и т.д.

Различают три типа границы устойчивости системы из условия

D_n=a_nD_n-1=0

 

Это следующие границы:

4) первый тип границы устойчивости, который называется апериодической границей устойчивости a_n=0;

5) второй тип границы устойчивости, который называется колебательной границей устойчивости D_n-1=0;

6) третий тип границы устойчивости называется бесконечной a₀=0, когда один из корней характеристического уравнения равен бесконечности, т.е.

s_j=¥

Следует отметить, что наиболее опасной является нахождение системы на колебательной границы устойчивости.