В математическом описании обязательно используются операция измерения физической величины, т.е. сопряжения ее с числом.

Рис.3. Распределение отклонений отсчетов

Oдно из основных положений теории вероятности:

Вероятность появления всей выборки, состоящей из n отсчетов равно произведению вероятностей появления отдельных отсчетов.

∆; P = ∆P₁ · ∆P₂ ·…·∆P_n

Сумма квадратов отклонений от наилучшего или точного отсчета должна быть минимальной.

Дифференцируя ∆Р_сум по x_с получим:

Эта производная равна нулю в одном случае - когда

Пример: Оптический пирометр установлен на светящуюся нить накала. Операторами произведено несколько измерений t⁰_c

n							∑ =46

 

Предположение: выборка взята из нормально распределенной совокупности

Найти: среднеквадратическое отклонение S и вероятную ошибку Ф

Решение: Находим среднее значение х_с :

Запишем данные в более удобном для вычислений виде

1000-x					-25	-50
n
n(1000-x)					-250	-100

 

Cведем значения отклонений x и их производных в таблицу:

x
n

 

∑ n = 46; ∑ x² = 43125;

В итоге: 993 ± 21⁰с

Ошибки и неопределенности эксперимента в целом.

Показатель точности произведения или частного.

Рассмотрим результат R, как линейную функцию произведения двух измеряемых величин X и Y:

R = kX·Y, где k - нормирующий множитель, точно известный.

Для X выборочное среднеквадратическое число равно S_x,а для Y – S_y; х₁ – данное отклонение от точного значения Х_с, обусловленное наличием случайной ошибки при измерении Х, а y₁ – одновременно наблюдаемое отклонение от точного значения Y_с.

Формула для пары отсчетов, взятой из выборки, содержащей n таких пар, имеет вид:

Rc + r₁ = k (Хc + x₁) · (Yc + y₁), (17)

где r₁ – отклонение результата.

или Rc + r1 = k (XcYc + x1 Yc + Xc y1 + x1y1)

Произведением x1 y1 можно пренебречь ввиду малых величин.

Тогда r₁ = (x₁Y_c + y₁X_c), аналогично для другой пары: r₂ = (x₂Y_c + y₂ X_c) и т.д.

Из определения среднеквадратического отклонения имеем (18)

Просуммировав n аналогичных уравнений получим:

∑; r² = k²[ Y²_c ∑x² + X_c Y_c ∑(x y) +X²_c ∑y²] (19)

∑(x y) можно полагать равной нулю, т.к. любое произведение x и y может быть с равной вероятностью как положительным, так и отрицательным, а для большой выборки сумма этих произведений будет стремиться к нулю.

Подставляя ∑r² в формулу вычисления S²_r (18) получим:

Подставляя в формулу S, полученную ранее, выражение R = k XY после преобразований имеем:

(20)

Формула (20) справедлива для случаев и ; в последнем случае используется выражение (21)

Причем есть отношение среднего квадратического отклонения к точному отсчету и, следовательно, является показателем точности, выражаемом в %.

Для случая произвольного интервала отклонений формула имеет вид:

(22)

 

Доверительный интервал.

 

Коэффициент ускорения испытаний:

- доверительная граница интервала значений Ky

- доверительная граница интервала значений Ky

где t_и - длительность ускоренных испытаний.

 

 

Рис.4. График, характеризующий ускоренные испытания.

 

Определение показателей точности для произвольной функции.

Результат R является функцией двух измеряемых переменных X и Y: R_с + r₁ = f (Хc+x1;Yc+y1).

Теорема Тейлора: Если функция y = f (x) в интервале [ a, a+h ] непрерывна и имеет непрерывные производные от 1^ой до n^ой включительно, то имеет место равенство:

т.е. можно рассматривать как сумму степенного ряда.

Рассмотрим только два члена ряда, тогда:

или поскольку R_с = f (Хc;Y_с):

где x и y в индексах обозначают отклонения от точных отсчетов.

∑x y стремится к нулю, и поэтому: (23)

Интервал неопределенности ω; получаем из выражения

(24)

± ω- произвольный интервал отклонений – интервал, в котором могут находиться 50, 68, 95% всех отсчетов данного прибора.

Применение общего уравнения.

Уравнения (23) и (24) играют важную роль. Рассмотрим их применение на примерах:

 

1. Дано: Функция R = k X ^b, где k и b – постоянные.

Найти: Среднеквадратическое отклонение результата R при заданном среднеквадратическом отклонении S_x измеряемой переменной Х.

Решение: Из уравнения (24) находим dR / dX = b k X ^b-1 и S²_r = b² k² X ^2(b-1) S²_x

Разделив выражение S²_r на R = k X ^b, возведенное в квадрат, получим:

2. Дано: Функция

Найти: Вероятную ошибку для R

Решение: Имеем: и

Тогда по формуле (24) полагая, что ω = Ф, получим:

Для нахождения относительной ошибки делим наR²: Выполнив преобразования получим:

Примеры:

1. Дано: Момент асинхронного электродвигателя пропорционален напряжению U²(в квадрате).

Найти: Какой будет ошибка при определении момента М, если среднеквадратическое отклонение S _u напряжения составляет 2,5%.

Решение:M =kU² (формула в общем виде R = k X ^b); (формула в общем виде: ∙ X ^b-1); (формула в общем виде: S²_r = b² k² X ^2(b-1) S²_x);

(формула в общем виде: )

Проведя сокращения, получаем: или

Ошибка в определении момента будет равна 5%

2. Дано: Функция

R₁=75 ом с вероятностью ошибки ±5%, R₂=100ом с вероятной ошибкой ±3%.

Найти: Вероятную ошибку для R,

Решение: - общее уравнение.

В нашем случае:

Вычисляя получаем или 3,1%; R = 42,9oм, тогда 3,1% составляет 1,33Ом.

 

Некоторые формулы для определения ошибки результата.

Функция R	Ошибки результата Фr
1.k(X+Y)
2. kXY 3. kX / Y
4. kX b	X
5. ke x
6.klnX
7. kSinX

 

Анализ ошибок при планировании экспериментов.

При проведении эксперимента изучение ошибки результата позволяет:

- предсказать ошибки для системы в целом;

- обнаружить “слабые” места в выполняемых измерениях;

- выбрать правильный план проведения эксперимента.

Нахождение неопределенности результата с помощью графиков и диаграмм.

Пример: Отсчет х прибора имеет неопределенность ω_х. Для получения результата R необходимо воспользоваться графиком зависимости R от х.

 

Из уравнения интервала неопределенности:

следует (для данного случая)

Один из способов нахождения производной функции R = f(x) в точке (R₁ x₁) для использования в формуле определения ошибки результата: на графике (рис.5) проводим касательную в указанной точке, определяем тангенс угла наклона

Если значение может быть оценено, то применение формулы не вызывает затруднений.

 

 

Рис.5. Определение угла наклона кривой графика.

Уменьшение набора переменных. Анализ размерностей.

Цель такого планирования – получение максимального объема полезных данных при наилучшем контроле и минимальных затратах времени на их обработку..

Самый известный и эффективный) способ – анализ размерностей – метод сокращающий объем многих экспериментов без потери контроля.

Применяется как способ объединения нескольких переменных в одну;

Теорема Букингема.

Для правильного анализа размерностей необходимо знать характер и число фундаментальных переменных в эксперименте.

Фундаментальная переменная – величина, оказывающая влияние на эксперимент и способная изменяться независимо от других переменных.

Первая часть теоремы Букингема:

Если уравнение однородно относительно размерностей, то оно может быть представлено в безразмерном виде.

Однородным относительно размерностей является уравнение, форма которого не зависит от выбранных основных единиц.

Пример:R = f(U,I). Возможно записать в форме: ;

где k – безразмерный коэффициент, равный 1 при U (вольт), I (ампер), R (ом), но изменяющейся, если какая либо величина имеет другую размерность (к ом,к вольт).

При анализе размерностей соотношений, характеризующих эксперимент, необходимо помнить постулаты:

1 - Любое явление или процесс, подчиняющийся действию физических законов, должны иметь математическое описание.

В математическом описании обязательно используются операция измерения физической величины, т.е. сопряжения ее с числом.

• Первичные величины х измеряются путем прямого сопоставления их с эталонами х₀: где X – численное значение величины х при эталоне. x₀ .

Пример: выбрав за эталон х₀ =1см можно выразить (записать) размеры тетради X₁=28, X₂=20. Если х^/₀ = 1дм, то получим X₁ = 2,8; X₂ = 2,0.

Т.о. сами числовые значения нельзя считать абсолютными признаками какого-либо объекта – они по своей сути относительны. , где

Абсолютный признак – отношение численных значений: , не зависящее от выбранных эталонов х₀.

- признак объекта (тетради), инвариантный к выбранной системе единиц (эталонов длины).

Это важное свойство в анализе размерностей называется абсолютностью отношений.

Оно отражает первый постулат и для первичных величин выполняется автоматически

• Вторичные величины yвыражаются через первичные посредством определительного уравнения y = f(x_i). Ихчисленное значение y зависит как от эталонов х₀ , так и от вида управления (в рассмотренном ранее случае R = U / I ).

В соответствии с первым постулатом должна существовать абсолютность отношений,

т.е. если , , то . ( – вольт, - киловольт)

Выполнение этого условия возможно лишь при следующем виде определительного уравнения: ,

тогда и ,

где a₁, a_i и a_m - показатели размерности.

Тогда (с учетом ):

Полученный результат можно распространить на случай, когда вторичная величина не зависит от «m» первичных и «r» вторичных, т.е. y = f(x₁… x_m, y₁… y_r), тогда

и .

 

Формулы и естьформулы размерности, а показатели степени в них – показатели размерности.

Пример: Скорость V - вторичная величина, выражается через первичные: путь х₁ = S и время x₂ = t

Определительное уравнение , где А =1, a₁ = 1, a₂ = -1

Тогда формула размерности: k_v = k_s k^-1_t. Можно также , где L и T - символы длины и времени, [V] – размерность скорости, выраженная через первичные величины.

· Размерность первичной величины совпадает с ее символом

· Безразмерные величины имеют «нулевые» показатели размерности.

Условие однородности уравнения означает отличие от нуля всех входящих в него показателей степени.

Невыполнение этого условия показывает, что исходная запись некорректна и в ней не соблюдены физические законы, либо пропущены существенные для данной задачи параметры и константы, либо, напротив, присутствуют величины, не влияющие на изучаемый процесс, т.е. не существенные для данной задачи.

Однородность уравнения не гарантирует правильности постановки задачи. Она лишь свидетельствует о том, что противоречия с физическими законами не содержится.

Вторая часть теоремы Букингема (π- теорема).

Если существует соотношение f (A₁…A_n) = 0 между «n» физическими величинами, для описания которых используется «k» основных единиц, то существует также соотношение f′;(π₁…π_n-k) = 0 между n –kбезразмерными комбинациями, составленными из этих физических величин.

или: Число безразмерных комбинаций равно числу переменных, параметров и констант,