Распределение случайных ошибок одинаково при любых значениях У.
Наличие 3х ограничений превращает общий случай распределения в указанный на рис.1б. Общее уравнение прямой на графике имеет вид: Ус = кХ+b (1) Надо:Получить такие выражения для к и b,чтобы сумма квадратов отклонений переменной У от этой прямой была минимальной.
Пусть Ус – точное значение У при любых значениях Х. Тогда (У – Ус) – отклонение при любом значении Х. Необходимо (согласно условиям) миминизировать Σ(У – Ус)2 или Σ(У – kX – b)2 В этом случае должны выполняться следующие соотношения:
Если имеется п отсчетов, то уравнение (2) после дифференцирования имеет вид: nb + kΣX = ΣУ ( здесь db = nb,)(4) а уравнение (3) имеет вид bΣX + kΣX2 = ΣXУ (5) Решая уравнения (4) и (5) как систему, находим:
Если известно, что функция ХУ проходит через начало координат, то в этом случае b = 0 (в формуле (1)) и получаем простое выражение для Подстановка в (6) и (7) экспериментальных данных и последующие вычисления утомительны и приводят к результатам, имеющим большие числа.
Некоторые упрощения вычислений с помощью двух несложных приемов: 1. Находим средние значения Хт и Ут и выбираются преобразованные переменные Х1=Х - Хт и У1=У-Ут. При этом начало координат временно переносится в центральную точку распределения. В этом случае ХУ и Х2 сокращаются.. 2. Проводится (на глаз) приближенная прямая, проходящая близко к исследуемой и с помощью этой прямой оцениваются приближенные значения двух постоянных А и В. При этом координаты приближенной прямой известны (в виде U= KХ+B (9) где kи Bнам известны. Из формул (1) и (9) получаем уравнение для разности (U – У): U – У = (K – k)X = (B – b) (10) Обозначив (U – У)= У1, k1 = (K-k) иb1= (B-b) по формулам (6) и (7) рассчитываем коэффициенты k1 и b1. Далее определяем: K = k –k1иb = B –b1. Определяя значения двух точек: например Х = 0 (Х = Хmin) и Х = Хmax, по ним строим прямую. Пример:Проверяется зависимость снижения температуры в трубе парового отопления от ее длины. При неизменных окружающих условиях получены следующие данные:
Вопрос:Какого рода график можно построить на основе этих данных применяя метод наименьших квадратов и что можно сказать об этих данных в целом (как охарактеризовать)? Решение: Допустим, что график функции имеет вид прямой, которую можно построить «на глаз» и найти приближенные значения К и В для подстановки в уравнение. Определение температуры для всей трубы может привести к неудовлетворительной точности в оценке ΔТ˚С в следствие наличия градиентов в любом заданном поперечном сечении. В то же время мы считаем, что значение L точно определено. Приближенная прямая проведена на глаз с угловым коэффициентом, равным 1 для облегчения вычислений (см. рис.15).
Рис. 15. Графическое изображение данных
На графике показаны: приближенная прямая __ __; наилучшая прямая, построенная методом наименьших квадратов ____.
Тогда уравнение прямой принимает вид: ΔU = KX + B = 1·L + 0, где U – температура ˚С, L – длина трубы (м) Уравнение для разности (10) имеет вид: ΔU – ΔT = (1-k) L+ (0-b), т.к. для приближенной прямой k = 1; b = 0. Для дальнейшего упрощения вычислений перенесем оси координат. При этом ΔТ1 = ΔТ – 12; ΔU1= ΔU – 12; ΔL1 = L – 12. Полная таблица вычислений:
Применяя формулы (6) и (7) получаем: Эти численные значения были получены для преобразованной системы координат. ΔТ – 12 =1,18(L - 12) +1,8 или ΔТ = 1,18L – 0,4. Полученное уравнение – прямая на графике, построенная по данным, полученным способом наименьших квадратов. Известно, что значение В должно быть равно нулю, а не0,4. Эта небольшая величина отрезка, отсекаемого на координатной оси, не должна быть причиной, чтобы считать полученные результаты неудовлетворительными. В этом простом случае перенос координат осей и использование приближенной функции позволяют достаточно наглядно проиллюстрировать эти методы. Поскольку принятая нами модель - бесконечная последовательность идентичных кривых нормального распределения, расположенных вдоль наилучшей прямой, задаем вопрос: Каковы показатели точности этих нормальных распределений? Среднеквадратическое отклонение: S2 = Решение: Составим таблицу данных для каждой из 5 ти точек, куда запишем истинные значения (т.е. полученное методом наименьших квадратов), а также измеренные значения
Σ = 9,96 Тогда Если известно, что полученные точки образуют кривую и с помощью простых алгебраических преобразований нельзя получить линейный график, то методом наименьших квадратов необходимо подобрать некоторый многочлен с несколькими постоянными Если случайную ошибку невозможно сконцентрировать в переменной У и она наблюдается как для переменной Х, так и для У, то необходимо применить более трудоемкий метод наименьших квадратов. Если точность переменных Х и У меняется при изменении Х и У, то в разных частях области, определенной заданием, данные должны иметь различный вес. Правильная оценка весов (значимости) дает представление о том, каким образом происходит изменение точности. Исследование функций графическими методами Имея данные, которые в определенной системе координат могут быть представлены в виде прямой, надо найти ее уравнение. Такое уравнение обычно называется эмпирическим, т.е. его находят по эмпирическим данным, а не из теоретических соображений. Основная задача эксперимента – выбор и преобразование системы координат т.о., чтобы полный набор данных давал по возможности прямую линию. Если полученные данные не образуют прямой на графике, то можно попытаться построить график в логарифмических координатах (или наносить логарифмы значений Х и Y на линейную графическую бумагу – миллиметровку). В логарифмических координатах график простой функции Y = kXa имеет вид прямой. (11) Переходя к логарифмам получим: log Y = log k + a log X, (12) где k и а – согласующие постоянные. Полулогарифмическая графическая бумага - когда одна шкала логарифмическая, а другая – линейная. В этом случае получается прямая, если данные подчиняются закономерности Y = k(10)аХ,которая идентичнафункции Y = k e2,3026аХ. После преобразования получим: log Y= log k + a X,(13) и чтобы получить прямую по оси Y применяем логарифмическую шкалу, по оси Х – линейную. Иногда применяется бумага специального вида (гиперболическая, с тремя осями координат). Однако в применении ее нет необходимости. Например, гиперболическую функцию можно представить в виде прямой, построив в линейных координатах зависимость Х / Y = f (X)или 1/Y = f (1/ X). В случае уравнения параболы, состоящего из 3х членов возможны способы получения линейного графика: 1. Возьмем на кривой,построенной по полученным данным, произвольную точку (Х1; Y1). Тогда У1 = a + bX1 + cX12.Вычитая Y – Y1 = b(X – X1) + c(X2 – X12)и разделив обе части уравнения на (Х –Х1) имеем: (Y –Y1) / (Х –Х1) = b + c (X + X1),где b + c X1 - постоянная. Если это уравнение удовлетворяет полученным данным, то график зависимости (Y –Y1) / (Х –Х1) от Х будет иметь вид прямой. 2. Дифференцируем уравнение (15), получаем: dY/ dX = b = 2cX. Если значения берутся через равные интервалы, то график зависимости dY / dX от Х будет иметь вид прямой. Наилучшая методика состоит в том, что: В начале данные наносятся на график в линейных координатах, затем через точки проводится плавная кривая. После этого выбирается наиболее подходящая функция и на кривой берутся произвольные точки для проверки соответствия принятой функции. Такая проверка (алгебраическая) проводится для всей области данных.
|