Операції над лінійними операторами

Основні теоретичні відомості

Означення 2. Оператор , який кожному вектору ставить у відповідність вектор , називається сумою операторів і і записують .

Отже, означає, що .

[ Тобто , оператор, який переводить в суму образів цього вектора ].

Теорема 2. Сума лінійних операторів є лінійний оператор

Зауваження. Матриця суми лінійних операторів дорівнює сумі матриць лінійних операторів.

Означення 3. Добутком лінійних операторів і називається такий третій оператор , який визначається формулою

,

де , і записують .

Означена так дія множення операторів і полягає в послідовності дії операторів і .

Теорема 4. Добуток лінійних операторів – є лінійний оператор.

Означення 4. Добутком лінійного оператора на скаляр називається оператор, який визначається формулою:

],

тобто при множенні оператора на скаляр, образ кожного вектора множиться на цей скаляр .

Теорема 6. Добуток лінійного оператора на число є лінійний оператор.

Властивості .

1. .

2. .

3. .

4. .

Висновок. Множина лінійних операторів простору з визначеними на цій множині операціями “+” і “ ”, та множення на скаляр з поля , враховуючи властивості 1 – 4 є лінійним векторним простором над полем .

Якщо лінійним операторам і відповідають матриці і , то

матриця суми лінійних операторів у довільно вибраному базисі дорівнює сумі матриць доданків у тому ж базисі

;

матриця добутку лінійних операторів у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриць співмножників у тому ж базисі

;

матриця добутку лінійного оператора на деяке число у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриці оператора в тому ж базисі на число

.

Область значень і ядро лінійного оператора

Нехай – деяка підмножина , – лінійний оператор в . Сукупність образів усіх векторів з множини назвали образом множини відносно оператора і позначили .

не міститься в .

Теорема 8. Образ кожного лінійного підпростору простору відносно будь-якого лінійного оператора також є лінійний підпростір .

Означення 7. Сукупність образів всіх векторів простору називається областю значень лінійного оператора .

Для скорочення область значень лінійного оператора називають образомлінійного оператора і позначають („image” - образ).

Означення 8. Розмірність області значень називають рангом оператора і позначають .

Теорема 9. Ранг будь-якого лінійного оператора простору дорівнює рангу матриці цього оператора в довільно вибраному базисі .

Означення 9. Ядром лінійного оператора називають сукупність всіх векторів цього простору, що відображаються оператором в нульовий вектор .

Ядро оператора позначають символом Ker . (“kernel” – ядро).

Ядро оператора є лінійний підпростір .

Означення 10. Розмірність ядра оператора називають дефектом цього оператора.

Теорема 10. Сума рангу і дефекту будь-якого лінійного оператора простору дорівнює розмірності цього простору: