Течение идеального газа в круговой решетке рабочего колеса центробежного компрессора

 

Будем считать течение газа в РК идеальным, т.е. без трения и рассмотрим условия равновесия элементарного объема газа в круговой решетке (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Силы, действующие на частицу газа
в межлопаточном канале круговой решетки

 

Движение идеального газа описывается дифференциальным уравнением Эйлера:

, (7.1)

согласно принципу Даламбера силы инерции, стоящие в левой части уравнения (7.1) равны и противоположно направлены сумме всех сил, действующих на частицу газа

,

(7.2)

Запишем условия равновесия (7.2) в проекциях на оси n и S

на ось n: ; (7.3)

на ось S: . (7.4)

Преобразуем .

Учитывая, что ; ; , получим в результате совместного решения уравнений (7.3) и (7.4)

,

после сокращения получим выражение

,

которое приведем к следующему виду

. (7.5)

Проинтегрируем уравнение (7.5) по координате n от средней линии канала (n = 0) до некоторого значения n (рис. 7.2). Считаем, что при n = 0, W = W_сp.

Рис. 7.2. К интегрированию уравнения (7.5)

Интеграл от уравнения (7.5) является интегралом вида , где x=W; b= 2 w·r_W ; a= 1.

.

Примем r_W>;0, если направление радиуса совпадаетс направлением оси и r_W≈R_л. Применяя правило интегрирования для уравнения (7.5), получим

,

,

, (7.6)

т.к. R_л>>n, то <<1, тогда можно принять ,

а значит выражение (7.6)

,

отсюда получим зависимость скорости от координаты n

(7.7)

Из формулы (7.7) следует, что изменение скорости поперек канала примерно подчиняется линейному закону:

- при n = а /2 (задняя сторона лопатки)

;

- при n = - а /2 (передняя сторона лопатки)

.

Отсюда следует, что скорость у нерабочей (задней) стороны лопатки больше, чем скорость у рабочей (передней) стороны лопатки: W_з > W_п (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Качественные эпюры скоростей и давлений по ширине межлопаточного канала (п; з – соответственно передняя и задняя стороны лопатки)

Распределение давлений по ширине канала будет противоположным, что следует из уравнения энергии в относительном движении

,

при R = const, dU = 0, а W_з > W_п, то P_з < P_п.

Анализ уравнения (7.7) показывает, что относительная скорость W имеет две составляющие:

1) – зависит от координаты n и кривизны канала 1 /R_л. Такую скорость имел бы транзитный поток, если бы мы остановили колесо, а расход через него оставили прежним.

2) 2· w·n – так называемый осевой вихрь, который вращается с угловой скоростью равной скорости колеса, но в противоположном направлении.

Сложение этих течений и дает результат, показанный на рис. 7.4.

 

а) б) в)

ω;=0; G ≠0 ω;≠0; G =0 ω;≠0; G ≠0

(транзитный поток) (осевой вихрь) (суммарное течение)

Рис. 7.4. Распределение скоростей в межлопаточном канале РК