Теорема Варіньона про момент рівнодійної

На практиці важливе використання, наприклад, при визначенні координат ваги тіла, має наступна властивість головного вектора системи сил (теорема Варіньона про момент рівнодійної).

Теорема. Якщо є точка О, в якій система діючих сил зводиться тільки до головного вектора , тобто рівнодійної , то момент цієї рівнодійної відносно будь якої іншої точки О ₁ дорівнюватиме геометричній сумі моментів сил вихідної системи відносно тієї самої точки О ₁.

При доведенні теореми врахуємо вираз (5.5), а також те, що за умовою в точках О і О ₁ на рис. 5.24 вектор =0.

У результаті отримаємо:

в точці О

в точці О ₁ ;

або . (5.21)

 

 

Рис. 5.24

 

Рівняння (5.20) справедливе для будь-якої точки О ₁ тіла в просторі чи площині.

Отже теорему доведено.

Особливості використання теореми Варіньона розглянемо на наступних прикладах.

Приклад 1. Для заданої у площині xO₁y (рис. 5.25,а) рівнодійної з точкою прикладання О визначити рівняння лінії її дії.

Розв’язання. Представимо базове рівняння (5.21) теореми Варіньона у вигляді

, (5.22)

де , - проекції головного вектора сил системи; - головний момент системи сил відносно точки О ₁ .

 

 

а)

Рис. 5.25

 

З (5.22) отримаємо рівняння прямої аа у відрізках

(5.23)

чи з кутовим коефіцієнтом

(5.24)

у площині хО ₁ у.

Рівняння (5.23) і (5.24) використовують на практиці в будівельній механіці при визначенні, наприклад, параметрів (величин і напрямків дії) реакцій в’язів.

Приклад 2. Визначити момент сили Н відносно точки О початку системи координат хОу (рис. 5.25, б). Точка прикладання сили має координати А (х_А =8 м, у_А =10 м), а лінія її дії складає з віссю Ох кут .

Розв’язання. Розкладемо силу на координатні складові і . Визначимо їх величини: Н, Н. За побудовою сила є рівнодійною сил і . Тому для знаходження її моменту відносно точки О використаємо теорему Варіньона:

Н×м.

б Рис. 5.25

тут знак „-” означає, що сила прагне повернути своє плече h за ходом стрілки годинника.

Примітка. Визначити момент сили відносно полюса за загальною формулою дуже складно, тому що невідомим є її плече h відносно точки О. Для його визначення спочатку необхідно скласти рівняння (5.23) або (5.24) лінії дії сили. Потім рівняння перпендикуляра з точки О на цю пряму, і далі визначити його довжину, яка і являтиме собою плече h сили відносно полюса О.