Окремі випадки приведення просторової системи сил

Відповідно до теореми Пуансо довільна система сил у просторі в загальному випадку зводиться у центрі О до двох силових факторів: сили, яка дорівнює головному вектору , і пари сил з моментом, який дорівнює головному моменту вихідної системи сил. Однак, на практиці між параметрами (величинами і взаємним напрямком) векторів і виникають різні співвідношення, що призводять до окремих випадків приведення довільної системи сил.

5.4.1. Приведення системи сил до пари сил з моментом (рис. 5.8). У цьому випадку в центрі приведення О головний вектор системи , а головний момент є перпендикулярним до пл. Е дії пари сил .

5.4.2. Приведення до рівнодійної у центрі О. Тут (рис. 5.9) виконується наступне: головний момент системи сил =0; головний вектор і належить пл. Е; система діючих на тіло сил відноситься до збіжної у точці О.

 

 

Рис. 5.8 Рис. 5.9

 

5.4.3. Зрівноважена (нульова) система сил. У цьому випадку в центрі приведення О (рис. 5.10, 5.11) отримаємо: головний вектор і головний момент ; вихідна система сил у будь-якій точці О тіла зводиться до еквівалентної нулю зрівноваженої системи; многокутники сил вихідної системи і многокутники векторів моментів сил відносно довільної точки О тіла є замкненими.

 

 

Рис. 5.10 Рис. 5.11

5.4.4. Приведення системи сил до головного вектора і головного моменту , коли . Тут мають місце, залежно від взаємної орієнтації векторів і , три окремі випадки.

5.4.4.1. Приведення до динами, коли вектори і не є перпендикулярними, тобто (рис. 5.4) кут і скалярний добуток векторів .

Розкладемо головний момент на дві ортогональні складові , одна з яких спрямована вздовж головного вектора .

 

 

Рис. 5.12 Рис. 5.13

 

Рис. 5.14 Рис. 5.15

 

Представимо момент (закреслено на рис. 5.13) у вигляді пари сил , в якій плече , а сила прикладена в точці О ₁.

У цьому випадку буде виконуватись умова еквівалентності: , тому що сили і за визначенням складають двійку сил, тобто .

Представимо далі вектор у вигляді моменту пари сил і перенесемо його, як вільний вектор, з точки О в точку О ₁ прикладання сили (показано на рис. 5.14 штриховою стрілкою).

У результаті початкова система сил перетворилась в центрі О ₁ в систему силових факторів . Тут сила дорівнює головному вектору за визначенням, а момент пари сил за величиною - проекції головного моменту на напрямок головного вектора (рис. 5.12) системи сил: . На рис. 5.15 момент для наочності показано одночасно у вигляді пари сил .

Сукупність діючих на тіло силових факторів у вигляді сили і пари сил , вектори яких колінеарні (лежать на одній прямій), називають динамою чи динамічним гвинтом. Лінія, яка проходить через центр приведення О ₁ вздовж даної прямої, називається віссю динами.

У просторі рівняння осі динами отримаємо з урахуванням умови паралельності векторів і (рис. 5.14):

(5.18)

де векторний добуток , r - параметр гвинта (скаляр);

.

Враховуючи (5.18), отримаємо такі співвідношення між координатними складовими векторів , і :

, (5.19)

де х, у, z - координати точки О ₁ на осі динами.

Співвідношення (5.19) дозволяють отримати рівняння прямої лінії, осі динами, у формі

(5.20)

Отже, існує пряма з канонічним рівнянням (5.20) у проекціях, в будь-якій точці якої система діючих на тіло сил зводиться до динами.

Таким чином встановлено, що прикладена до тіла вихідна довільна система сил, якщо другий статичний інваріант першої форми не дорівнює нулю, тобто при (), зводиться у точці О ₁ до динами, яка є сукупністю двох силових факторів: сили і моменту пари сил , вектори яких колінеарні. При цьому здається, що за величиною момент пари динами у точці О ₁ буде найменшим (рис. 5.16), порівняно з моментами у будь-яких інших точках приведення О_к на осі Оу, тобто буде виконуватися співвідношення .

Цю важливу властивість динами використовують на практиці при вирішенні задач зрівноваження твердого тіла, а також відтворенні динамою заданого його руху за допомогою зовнішніх сил найменшої потужності.

 

 

Рис. 5.16

 

5.4.4.2. Приведення до схрещеної системи двох сил. Цей випадок має місце, коли вихідна система сил приводиться у центрі О до головного вектора і головного моменту (рис. 5.17), а кут між векторами, як і у випадку приведення до динами, задовольняє співвідношенню .

Представимо момент (закреслено на рис. 5.17) у вигляді пари сил з площиною дії Е і плечем (за величиною сила пари може бути будь-якою). Далі додамо за правилом паралелограма вектори і , отримавши силу .

Виконані перетворення призводять до наступної, еквівалентної до вихідної системи двох сил і : .

 

 

Рис. 5.17

 

При цьому сила є прикладеною у центрі приведення О, а точкою прикладання сили є точка О ₁ кінця плеча h пари сил . Важливою властивістю сили є, однак, те, що вона не належить площині Е дії пари сил .

Така сукупність діючих на тіло двох сил складає систему сил, щоі схрещуються (не лежать в одній площині) і не мають рівнодійної.

На відміну від динами отримана система силових факторів включає лише дві сили , , тобто тут відсутня пара сил.

5.4.4.3. Приведення до однієї сили (рівнодійної), коли вектори і є перпендикулярними, тобто (рис. 5.18). У цьому випадку головний вектор , лежить у площині Е, яка перпендикулярна головному моменту системи, тобто в площині дії результуючої приєднаної пари сил.

Представимо момент (закреслено на рис. 5.18) у вигляді пари сил з плечем і силою .

 

 

Рис. 5.18

 

У результаті отримаємо, що сили і складають двійку сил, тобто систему сил , а вихідна система виявляється еквівалентною одній силі , яка належить площині Е, прикладена у точці О ₁, що знаходиться на відстані від початкового центра приведення О. Проведені еквівалентні перетворення мають наступний вигляд:

.

Вони зводять вихідну систему сил до однієї сили (рівнодійної), яка дорівнює головному вектору системи і прикладена у новому центрі приведення О ₁.