Прямая в пространстве

1) Каноническое уравнение прямой:

 

,

 

где - направляющий вектор прямой, - координаты точки, принадлежащей прямой.

2) Параметрическое уравнение:

 

3) Общее уравнение прямой:

 

 

4) Уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

 

 

5) Угол между двумя прямыми в пространстве:

 

6) Условие параллельности двух прямых в пространстве

 

 

7) Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:

 

 

8) Угол между прямой и плоскостью

 

9) Условие параллельности прямой и плоскости:

 

 

10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

 

 

11) Условие пересечения прямых в пространстве:

 

Чтобы прямые в пространстве пересекались, они должны лежать в одной плоскости, поэтому

 

 

12) Расстояние от точки до прямой, проходящей через точку с направляющим вектором вычисляется по формуле: .

Пример 54 Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой

Решение и проходящей через точку с координатами (2; 0; 1). Направляющий вектор данной прямой может служить нормальным вектором для искомой плоскости, т.е. , тогда , .

Пример 55 Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде и подставим вместо переменных в уравнение плоскости их выражения через параметр:

, , отсюда .

Подставив в параметрическом уравнении прямой вместо параметра найденное значение, получим координаты искомой точки,

Пример 56 Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 0; -3) и параллельно прямой .

Решение Направляющий вектор данной прямой будет также направляющим и для искомой прямой, т.е. . Напишем каноническое уравнение для искомой прямой: .

Пример 57 Вычислить угол между прямой и плоскостью .

Решение Найдем угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. , , .

 

Пример 58 При каких значениях и прямая перпендикулярна к плоскости ?

Решение По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: , отсюда

.

Пример 59 Пересекаются ли прямые и ?

Решение . Не пересекаются.