Правило прецессии

К гироскопу, кинетический момент которого равен , прило­жен внешний момент (рис. 1.2), причем угол между векторами и равен . Вектор будет вра­щаться относительно центра 0 вокруг оси, перпендикулярной плоскости векторов и .

 

Рис. 1.2 Правило прецессии

Модуль угловой скорости вращения

 

Где - составляющая вектора внешнего момента, нормальная к вектору кинетического момента .

Направление вращения таково, что вектор по кратчайшему пути приближается к вектору .

Правило прецессии формулируется следующим образом: под дей­ствием внешнего момента , приложенного к гироскопу, вектор ки­нетического момента. начинает вращаться вокруг оси, перпендику­лярной плоскости векторов и , стремясь совместиться с векто­ром кратчайшим путем.

Ось, совпадающую с направлением вектора кинетического момен­та, называют кинетической осью. Кинетическая ось не совпадает с главной осью гироскопа. Поскольку угол между направлениями кинетической и главной осей весьма мал, практически можно считать, что кинетическая ось гироскопа совпадает с его главной осью. Главная ось гироскопа, следуя за кинетической осью, в то же время соверша­ет около нее быстрые колебания. Это дополнительное движение глав­ной оси гироскопа около кинетической оси выражается в виде мелкого дрожания, незаметного для глаза.

Кинетический момент гироскопа

где - момент инерции гироскопа относительно главной оси; n -собственная угловая скорость, сообщенная гироскопу относительно той же оси.

Отсюда видно, что кинетический момент гироскопа можно увели­чить двумя путями: увеличением момента инерции гироскопа относи­тельно главной оси и увеличением собственной угловой скорости ги­роскопа. В малогабаритных авиационных гироскопах предпочтение от­дается второму пути.

Скалярные уравнения движения гироскопа.

Запишем скалярные уравнения движения гироскопа в подвижной прямоугольной системе координат Охуz, начало которой находит­ся в центре приведения моментов 0. Проектируя векторное уравне­ние (1.3) на оси координат получим уравнения Эйлера

(1.5)

Уравнения (1.5) принимают удобный для исследования вид в слу­чае, если центр приведения 0 и начало координат находятся в точке закрепления гироскопа, а ось z направлена по его главной оси. Оси могут быть направлены произвольно. В этом случае оси, совпадают с главными осями инерции гироскопа.

Проекции вектора кинетического момента на главные оси инерции выражаются как

,

где A, В, С - осевые моменты инерции гироскопа; - абсолют­ная угловая скорость гироскопа.

Абсолютная угловая скорость гироскопа

,

где р - угловая скорость системы отсчета; n - вектор состав­ной (относительной) угловой скорости гироскопа, направленный по оси z. Поэтому

.

Заменим в уравнениях (1.5) проекции вектора на оси ко­ординат их значениями. Заметим при этом, что вследствие симметрии гироскопа его моменты инерции относительно осей х и у равны, т.е. А = В. После замены получим

(1.6)

 

Практически, собственная угловая скорость гироскопа n, кото­рая сообщается ему относительно главной оси, значительно превосхо­дит переносную угловую скорость р, с которой вращается система отсчета . Кроме того,

Поэтому в левой части двух первых уравнений (1.6) вторые члены будут малы по сравнению с последними членами. Отбрасывая эти малые члены, получим систему уравнений

(1.7)

Вектор кинетического момента направлен по главной оси гиро­скопа. При таком допущении и выбранном направлении координатных осей будем иметь

и, следовательно .

В рассматриваемом случае уравнения (1.5) упрощаются и принимают вид

(1.8)

Собственная угловая скорость гироскопа n значительно превос­ходит переносную угловую скорость р, с которой вращается систе­ма отсчета . Практически можно считать, что кинетический момент гироскопа . Подставив значение К в приближенные уравнения (1.8), получим

(1.9)

В системах уравнений (1.6), (1.7) и (1.9) два первых уравнения описывают движение главной оси гироскопа. Последнее уравнение яв­ляется уравнением вращения гироскопа относительно главной оси.

 

Гироскопический момент. Гироскопический эффект.

Вектор, равный по величине и противоположно направленный вектору внешнего момента М, представляет момент инерционного сопротивления, которое оказывает тело, в том числе и гироскоп, внешним воздействием.

Выделим в левой части уравнений (1.6) члены, содержащие угловую скорость гироскопа n. Эти члены, взятые с противоположным знаком, представляют собой инерционное сопротивление, специфичное для гироскопа. Обозначая I момент этого инерционного сопротивле­ния, можем записать

Момент

где i и j - орты осей x и у, называют гироскопическим момен­том.

Нетрудно убедиться, что гироскопический момент

Для этого достаточно разложить вектор_ по координатным осям.

Вектор гироскопического момента направлен перпендикуляр­но плоскости векторов n и р (рис. 1.3). При этом гироскопический момент стремится повернуть вектор n и, следовательно, ось гиро­скопа в сторону вектора р. Модуль гироскопического момента

. (1.11)

 

 

Рис. 1.3. Гироскопичес­кий момент

 

Рис. 1.4. Прецессия гироскопа под действием гироскопического момента

 

Предположим, что к гироскопу, имеющему собственную угловую скорость , приложен внешний момент (рис. 1.4). Под действи­ем приложенного момента главная ось гироскопа начинает вращаться вокруг оси, направленной по вектору с угловой скоростью . Но при вращении оси гироскопа возникает гироскопический момент вектор которого направлен перпендикулярно плоскости векторов . Возникший гироскопический момент в свою очередь вызыва­ет вращение главной оси гироскопа с некоторой угловой скоростью , направленной по вектору . В результате дополнительного вращения главной оси возникает вторичный гироскопический момент , направленный в сторону, противоположную внешнему моменту .

Моменты и в среднем взаимно уравновешиваются. Гироскопи­ческий момент остается неуравновешенным. Он и вызывает прецес­сию гироскопа, в результате которой кинетическая ось гироскопа бу­дет вращаться вместе с его главной осью вокруг оси, перпендикуляр­ной вектору , приближаясь к последнему по кратчайшему пути.

Моменты и взаимно уравновешиваются лишь в среднем. По­этому возникают дополнительные, неуловимые для глаза, колебания главной оси гироскопа около его кинетической оси.

Внешнее проявление гироскопического момента называют гироско­пическим эффектом. Прецессия гироскопа является одним из примеров гироскопического эффекта.