Относительное движение главной оси гироскопа

Изучим относительное движение главной оси гироскопа. Для это­го рассмотрим движение одной ее точки α, удаленной на единицу длины от точки закрепления гироскопа в положительном направлении оси z. Такую точку назовем вершиной гироскопа, или апексом.

Вершина гироскопа движется по сфере единичного радиуса с цен­тром в точке закрепления 0. Положение вершины гироскопа на этой сфере определяется двумя углами.

Система отсчета (рис. 1.5), относительно которой рас­сматривается движение оси гироскопа, связана со сферой. В начальном положении трехгранник совпадает с трехгранником .

 

Рис. 1.5. Относительное движение вершины гироскопа

 

Повернем трехгранник вокруг оси на угол с угловой скоростью . Ось займет положение , а ось -положение, показанное на рис. 1.5.

Затем повернем трехгранник вокруг оси х на угол с угловой скоростью . Ось z' переместится при этом в положе­ние z, а ось y - в положение, показанное на рис. 1.5. Углы и определят положение вершины гироскопа на сфере.

Условимся считать приращения углов и положительными, если векторы угловых скоростей и совпадают с положитель­ными направлениями осей .

Система отсчета связана с основанием гироскопа, за­крепленного в кардановом подвесе. Ось направим по оси внешней рамки подвеса гироскопа, а ось x системы отсчета - по оси внутренней рамки подвеса (рис. 1.6). Тогда угол , определит поворот внешней рамки гироскопа относительно основания, а угол - поворот внутренней рамки подвеса гироскопа относительно внешней.

Рис. 1.6. Относительное движение гироскопа, закреп­ленного в кардановом подвесе

 

В практических расчетах углы обычно остаются малы­ми. Поэтому будем считать, что , , , . Запишем матрицу первого перехода от системы коор­динат к промежуточной системе координат :

Матрица второго перехода от промежуточной системы к си­стеме Охуz

Матрица перехода от первой системы координат ко второй
системе координат равна произведению матриц первого и
второго переходов:

Пренебрегая произведением малых углов, найдем

(1.12)

Вектор угловой скорости вращения трехгранника можно представить как сумму двух векторов - вектора угловой скорости вращения системы отсчета и вектора угловой скорости , с которой трехгранник , вращается относительно системы отсчета :

.

Вектор можно задать его проекциями на оси :

,

где - единичные векторы соответствующих осей.

Вектор угловой скорости вращения трехгранника относи­тельно системы отсчета

.

Следовательно,

Спроектируем вектор на оси , использовав при этом матрицу (I.I2). Получим

(1.13)

Угловая скорость обычно невелика. Вторые члены правых частей уравнений (I.I3), представляющие собой произведения малых величин, можно не учитывать.

Подставим значения в два первых уравнения (1.7), отбросив в правых частях уравнений (1.13) малые вторые члены.

Найдем

(1.14)

Подставим далее значения в систему уравнений (1.9) При этом же допущении получим

(1.15)

Уравнения (1.14) и (1.15) - приближенные и описывают движение оси гироскопа относительно подвижной (вращающейся) системы от­счета с различной степенью точности.

Усеченные уравнения (1.15) описывают только прецессию гироскопа. Полные уравнения (1.14) учитывают дополнительное движение главной оси гироскопа относительно его кинетической оси.