Студопедія
рос | укр

Головна сторінка Випадкова сторінка


КАТЕГОРІЇ:

АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія






Прикінцеві положення


Дата добавления: 2015-10-18; просмотров: 705



Функция называется непрерывной в точке а, если

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е. .

Обозначая - а =Δx и f(x)- f(a) =Δy, условие непрерывности можно записать так: Δy = 0.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна в этой области.

Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа f(a), f(a - 0), f(a + 0), равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода.

 

Точки разрыва I рода подразделяются на точки устранимого разрыва (когда f(a-0) = f(a + 0)≠ f (a )) и точки скачка (когда f(a - 0) ≠ f(a + 0)), f(a + 0)-f(a-0)) - скачок функции в точке а. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

 

Пример 1. Доказать, что функция = З -4 непрерывна в точке =2.

Область определения нашей функции D(f) = (- ;+ ) , следовательно функция определена в точке x0 и в окрестности точки .

f(2) = 2,

Условие выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке =2.

 

Пример 2. Доказать, что функция = 7 2 -3 непрерывна на интервале (- ;+ ).

Для доказательства непрерывности функции на (- ;+ ) надо доказать непрерывность ее в произвольной точке х (- ;+ ), надо доказать Δy = 0.

Область определения нашей функции - вся числовая ось.

Δf= f(x + Δх)- f(x) = (7( + Δ )2 -3)-(7 2 - 3) = 7х2 + 14хΔх +

+ 7 Δ 2 - 3 - 7х2 + 3 = 14 Δ + 7Δ 2 = 7Δ (2 + Δх)

Δy = (2 + Δх) = 0

Следовательно, f(x)=7x2-3 непрерывна в любой точке интервала и тогда непрерывна на всем интервале.

 

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

 

Рис. 7

Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения. Данная функция задается различными формулами на разных участках, следовательно, не является элементарной.

Однако, если разбить область определения D(f)= на отдельные интервалы D1(f) = ; .D2(f) = ; D 3(f)= ,то на каждом из этих интервалов функция f(x) окажется элементарной и, следовательно, непрерывной.

Таким образом, осталось исследовать граничные точки.

 

1) x1 =0, f(x1)= f(x2)=0

Таким образом, в точке х1, функция непрерывна.

 

2) = 1

Пределы слева и справа в точке 2 не равны между собой, таким образом, точка 2 - точка разрыва 1 рода.

=5-2=3- скачок функции в точке 2 .

 

Пример 4. Найти и классифицировать точки разрыва функции y=

В точках =1 и =5 функция не определена.

1) = 1

2) =5

Обе точки =1 и =5 - точки разрыва II рода.

Пример 5. Показать, что при х=3 функция у = имеет устранимый разрыв.

В точке , =3 функция не определена. В других точках дробь можно сократить на -3≠0, следовательно, у = х + 3 во всех точках х≠З,

Функция в точке =3 имеет устраняемый разрыв.

Он будет устранен, если условиться, что при =3 значение функции равно 6.

 

Задания для самостоятельной работы.

1) Исследовать на непрерывность f(x)= точке 0=2;

 

2) Доказать непрерывность функции f(x) = + ln(l + х) в области (-1;+оо);

 

3) Исследовать на непрерывность функцию:

4) Исследовать характер точки разрыва функции

;

5)Найти точки разрыва: а) б) .


Список литературы

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления – М.: “ Интеграл-пресс ”,1997-416с.

2.Данко П.Е. и др. Высшая математика в задачах и упражнениях. Ч.1./ П.Е. Данко и др. – М.: Высшая школа, 1986 – 306 с.

 


 

 

Учебное издание

 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ПОРЯДОК | КОНВЕНЦІЯ про захист прав людини і основоположних свобод
<== 1 ==> | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.218 сек.) російська версія | українська версія

Генерация страницы за: 0.218 сек.
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7