Студопедия — Распределение Больцмана. Из опыта известно, что газ в отсутствие внешнего поля равномерно распределен по объему сосуда
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Распределение Больцмана. Из опыта известно, что газ в отсутствие внешнего поля равномерно распределен по объему сосуда






 

Из опыта известно, что газ в отсутствие внешнего поля равномерно распределен по объему сосуда. Это дает основание считать, что все части объема V сосуда равноправны и вероятность обнаружить молекулу в элементе объема dV = dxdydz около точки с координатами x, y, z равна

 

dw (x, y, z) = dV / V = dxdydz / V. (89.1)

 

Между тем на практике часто приходится иметь дело с газом, находящимся в потенциальном внешнем поле. Важным примером такого поля является поле тяжести. Молекула газа в этом поле обладает потенциальной энергией, равной

u = mgz, (89.2)

 

где ось z направлена вертикально вверх. Наличие силы тяжести приводит к тому, что давление газа меняется с высотой. Вес газа в сосуде измеряется разностью давлений, оказываемых газом на дно и крышку сосуда:

 

P =(p (0) – p (h)) S. (89.3)

 

В создании этой разности участвуют все молекулы газа, хотя большая часть из них непосредственно ни с дном, ни с крышкой сосуда не сталкивается. С другой стороны, вес газа равен просто весу всех его молекул:

 

. (89.4)

 

Таким образом, для веса газа имеются два выражения: (89.3) и (89.4). Приравнивание их друг другу дает интегральное уравнение

 

. (89.5)

 

Это уравнение справедливо для любых h, поэтому его можно записать в виде

. (89.6)

 

Дифференцирование (89.6) по z приводит к дифференциальному уравнению

 

. (89.7)

 

Если газ идеальный и температура его не меняется с высотой, то (89.7) сводится к

dn/dz = – mg/kT · n. (89.8)

 

Решение этого уравнения определяет изменение концентрации молекул с высотой:

n (z) = n (0) exp(– mgz/kT). (89.9)

 

Концентрация молекул у дна сосуда и полное их число N связаны условием нормировки

 

. (89.10)

 

Параметр a = mgh / kT характеризует неоднородность распределения газа по высоте. При a >> 1 неоднородность значительна: энергия теплового движения недостаточна, чтобы молекулы могли подняться высоко, и они сосредоточены ближе к дну сосуда. При a << 1 из выражения для N следует, что n (0) = N / Sh, т. е. распределение близко к однородному.

Можно ввести характеристическую длину распределения молекул в поле тяжести (из условия a = 1)

hk = kT / mg. (89.11)

 

Для условий земной атмосферы hk» 10 км. Сооружаемые емкости имеют значительно меньшие габариты, поэтому неоднородность распределения паров в них не наблюдается. Лишь при подъеме в горы или с помощью авиации обнаруживается влияние поля тяжести на распределение воздуха в атмосфере.

Необходимо подчеркнуть, что формула (89.9) применима только к изотермической "тонкой" атмосфере. Из нее следует барометрическая формула

p (z) = p (0) exp (– mgz / kT). (89.12)

 

Воздух представляет собой смесь газов, молекулы которых имеют различную массу. В соответствии с формулой (89.9) состав атмосферы должен резко изменяться с высотой:

 

n' / n'' = n' (0) / n'' (0)exp((m'' – m') gz / kT). (89.13)

 

Здесь одним штрихом отмечены величины, относящиеся к легкой компоненте, двумя – для тяжелой. Из полученного соотношения следует, что относительная концентрация легких газов должна увеличиваться с высотой. Измерения состава воздуха на разных высотах не подтвердили этого вывода. Интенсивная конвекция в пределах тропосферы приводит к известному выравниванию состава воздуха по высоте. Общеизвестно также падение температуры с высотой. Атмосфера Земли не находится в состоянии статистического равновесия.

Распределению (89.9) можно придать несколько иной вид. Вероятность обнаружить молекулу в слое толщиной dz на высоте z определяется долей таких молекул от общего числа:

 

dw (z) = dN (z) / N = n (z) Sdz / N = 1/ Z exp(– u (z) / kT) Sdz, (89.14)

 

где u – потенциальная энергия молекулы, вычисляемая по формуле (89.2); Z = N / n (0) – нормировочный множитель. В произвольной системе координат распределение (89.14) будет иметь вид

 

(89.15)

 

где – элемент объема конфигурационного пространства. Это и есть распределение Больцмана. Его можно использовать, чтобы найти распределение газа в "толстой" изотермической атмосфере. В этом случае потенциальная энергия молекулы равна

 

u = – g mM / r. (89.16)

 

Тогда с учетом сферической симметрии

 

dw (r) = 1 / Z exp(g mM / kTr)) 4p r 2 dr; (89.17)

 

(89.18)

 

Для концентрации молекул (если не задаваться вопросом о величине Z) из распределения (89.17) следует формула

 

n (r) = = N / Z exp(γ mM / (kTr)) = n (r 0) exp(γ mM / (kT)(r –1r 0–1)). (89.19)

 

При z = r – r 0 << r 0 из формулы (89.19) получается распределение для тонкой атмосферы. Действительно, r 1r 0–1 @ – z / r 02, g M / r 02 = g – ускорение свободного падения. В результате, из формулы (89.19) следует распределение (89.9). Казалось бы, все хорошо, но есть одна неприятность: интеграл в выражении для Z (89.18) расходится и Z =¥. Нельзя равновесным образом распределить конечное число молекул в бесконечном пространстве. На больших высотах плотность газа очень мала, молекулы почти не сталкиваются, и там не устанавливается равновесное состояние.

Распределение Больцмана можно использовать, чтобы найти распределение взвесей в суспензиях и эмульсиях. Мельчайшие частицы взвесей находятся в непрерывном хаотическом движении, почти не сталкиваясь друг с другом. Тепловой характер их движения имеет молекулярно-кинетическую природу. Он вызван различием в импульсах, получаемых частицей в результате столкновений с молекулами растворителя. Потенциальная энергия частицы взвеси равна

 

u = mgz (1 – ρ0 / ρ), (89.20)

 

где r и r0 – плотности вещества частицы и растворителя соответственно. Выражение (89.20) написано с учетом выталкивающей силы. Для концентрации частиц получается распределение, аналогичное (89.9):

 

(89.21)

 

Оно было использовано Перреном для экспериментального определения числа Авогадро (и тем самым постоянной Больцмана).

Растирая гуммигут в воде, Перрен получал эмульсию ярко-желтого цвета, в которой при наблюдении в микроскоп можно было различить множество зернышек сферической формы. Перрен получал эмульсию также другим способом, растворяя гуммигут в спирте, а затем разбавляя раствор большим количеством воды. Многократное центрифугирование давало весьма однородную эмульсию, состоящую из шарообразных частиц радиусом порядка микрона. Обработав 1 кг гуммигута, Перрен через несколько месяцев получил фракцию, содержащую несколько десятых доли грамма зерен желаемого размера. С этой фракцией и были выполнены описываемые здесь опыты и опыты по броуновскому движению.

К предметному стеклу микроскопа приклеивалось очень тонкое стекло с просверленным в нем широким отверстием. Получалась плоская ванночка (кювета Цейса), глубина которой была около 100 мкм (0,1 мм). В центре ванночки помещалась капля исследуемой эмульсии, которая сплющивалась покровным стеклом. Чтобы избежать испарения, края покровного стекла покрывались парафином или лаком. Тогда препарат можно было наблюдать в течение нескольких дней или недель. Количественные измерения были выполнены, когда препарат помещался горизонтально, а микроскоп – вертикально. Объектив был очень сильного увеличения с малой глубиной фокуса. Одновременно можно было видеть только частицы в слое глубиной порядка микрона. Фокусируя микроскоп на разные глубины, можно было сосчитать число видимых броуновских частиц в разных слоях и определить отношение концентраций этих частиц. Разность высот измерялась микрометрическим винтом микроскопа. Специальным образом определялся размер зерен – диаметр их был около 0,37 мкм. Определенные таким образом значения постоянной Больцмана и числа Авогадро оказались в хорошем согласии с результатами других экспериментов. Эти опыты Перрена, а также его опыты по броуновскому движению, ставшие классическими, были выполнены в 1908–1911 гг. и имели большое значение для утверждения атомистики.

Неоднородность в распределении частиц молекулярного размера удается создать с помощью центрифуги. Центрифугирование нашло широкое применение в химии и биологии как эффективный способ разделения близких по молекулярному весу или плотности веществ.

В лабораторной системе отсчета газ в центрифуге вращается как единое целое, стало быть, имеется центростремительное ускорение, т. е. система не находится в равновесии и к ней нельзя применить распределение Больцмана. В системе же отсчета, связанной с центрифугой, объект исследования находится в равновесии, и к нему можно применить указанное распределение. Но в этой системе отсчета на частицы действует центробежная сила. Соответствующая потенциальная энергия частицы равна

 

(89.22)

 

Распределение Больцмана с учетом цилиндрической симметрии имеет вид

 

(89.23)

где l – высота барабана центрифуги. Для концентрации частиц получена формула

 

(89.24)

 

Из формулы следует, что концентрация тяжелых частиц у боковой стенки центрифуги относительно выше, что используется для разделения смесей.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1202. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия