Приклади

Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 704

Знайти невизначені інтеграли, користуючись методом інтегрування за частинами:

1. = uv– .

Введемо позначення u=x; dv=sinxdx. Знаходимо = .v = –cosx – сталої при знаходженні v не пишемо. Сталу запишемо при обчисленні інтегралу . Оскільки u є відома функція: u = x, то du = u′dx = dx. Отже, = –xcosx – = –xcosx+sinx+c. Якби ми взяли за u=sinx, то ми приклад не розв’язали б.

2.

Введемо позначення: u =lnx ; du = ; dv = xdx, v = .

3. .

Введемо позначення: u = ln²x; du = 2lnx ; dv =dx; dv = .

Невизначений інтеграл будемо інтегрувати за частинами.

Нехай u = lnx; dv = dx. Тоді du = dx, v = = x.

Отже, xlnx – = xlnx – x + с.

Остаточно знаходимо = xln²x –2(xlnx – x) + c.

4. = е^ах

Позначимо в цьому інтегралі u = e^ax , dv = sinbxdx. Звідки du = ae^axdx,

v = = – .

Тоді .

Інтеграл у правій частині цієї рівності теж обчислюється за частинами. Введемо позначення: u = e^ax; dv = cos bxdx, звідки du = e^axdx v = = = . Скориставшись формулою метода інтегрування за частинами, маємо .

Підставивши значення цього інтегралу в рівність, дістанемо:

.

У правій частині цієї рівності маємо той самий інтеграл, що у лівій. Тому, розв’язуючи цю рівність відносно інтегралу, знаходимо:

.