Olympic Village, Athens 28 страница

Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 773

Мне доставило огромное удовольствие все, что Ты сообщил мне о господине Эккарде, профессоре из Ринтельиа. Я рад, что рядом с нами живет человек, у которого есть достаточно досуга, желания и таланта для истинной философии. А посему я полагаю, что хотя он и сам стремится к тому же, однако Твой авторитет и наше одобрение должны воодушевить его на продолжение усилий в столь славном начинании. Ведь, обладая, насколько мне известно, весьма основательными познаниями в математике, и прежде всего великолепно проявив себя в той общей части, которую некоторые называют анализом, он дает нам надежду, что, следуя этому примеру, и в других разделах философии он также сможет открыть или обосновать нечто достойное познания. И меня но обескураживает то, что он выше всех ставит Декарта: ведь невозможно отрицать, что, за исключением в древности Архимеда, а в Новое время Галилея, не существует другого автора, который бы путем размышления нашел столько прекрасных истин.

Я должен, однако, признать, что в трудах Декарта многое представляется мне недостаточным, даже несмотря на сложные и точные обоснования, и я не могу согласиться с ним, как бы мне этого ни хотелось, в вопросе о мироздании. Ибо я не допускаю, что природа тела состоит в одной только протяженности, и не принимаю его весьма опасного положения о том, что материя последовательно принимает все формы, на которые она способна. Особенно же несообразным представляется мне утверждение, что равенство трех углов треугольника двум прямым или то, что круг есть самая емкая из всех изопериметрических фигур, являются результатом божественной воли. Как будто бы Бог дал кругу как некую привилегию то, что он мог бы передать и квадрату. Все это достаточно ясно показывает, что наш автор не проник в глубинные основания истины.

==144

Мне кажется, что я понимаю, какие доводы привели его к этому утверждению. Он установил критерий истины — наше ясное и отчетливое восприятие. Поэтому истинность утверждения, что круг — самая емкая из всех фигур одного и того же периметра, может быть познана только из того, что мы ясно и отчетливо воспринимаем, что это — его свойство. Значит, если бы Бог создал нашу природу таким образом, что мы ясно и отчетливо воспринимали бы противоположное, то истинным было бы противоположное. Я совершенно не согласен с этим его тезисом. Но и его метафизический принцип в целом неверен, — принцип, утверждающий, что в нас обязательно заложена идея всего того, о чем мы мыслим и рассуждаем, например тысячеугольника или абсолютно совершенного существа; вооружившись этим принципом, как Ахиллесовым щитом, он с высокомерным презрением взирает на всех, кто сомневается в его доказательствах существования Бога. Но с помощью этого же аргумента он, конечно, легко бы мог утверждать, что в нас существует также и идея невозможного, например наибыстрейшего движения, на что те, кто пожелает оспорить его доказательства, скажут, что именно такого рода идеей и является абсолютно совершенное существо. Я, правда, знаю, что смысл понятия абсолютно совершенного существа совсем иной, чем понятия наибыстрейшего движения, но все же я полагаю, что аргументация Декарта несовершенна, и тот, кто захочет довести ее до совершенства, должен внести многое еще и от себя.

Я считаю весьма замечательными его труды по этике, где он использовал и развил взгляды Эпиктета и других древних. Все это учение зиждется на различении того, что присуще нам, и того, что не находится в нашей власти: ведь если мы станем желать только того, что нам доступно, мы никогда не испытаем боли неудачи. А размышления, с одной стороны, опыт — с другой, убеждают нас в легкомысленное™ стремления к другому. Однако в этом есть трудность, ибо здесь принимается за несомненное, что по крайней мере деятельность разума в нашей власти» что, однако, далеко не всегда очевидно, ибо яд, укус бешеной собаки, тяжелое несчастье или болезнь могут до такой степени изменить все душевное состояние, что человек из сильного и мудрого превращается в пугливого и жалкого, более того — в безумца и, одним словом, из счастливого становится несчастным. Поэтому, хотя я и допускаю, что

==145

постоянным упражнением можно добиться, чтобы человек был доволен в настоящем, все же эта философия не в состоянии сделать нас уверенными в будущем. Но того, в чем я отказываю картезианской или, если угодно, стоической философии (потому что в области этики они совпадают), я не отнимаю вообще у всей философии, ибо существуют я полагаю, и более возвышенные доводы (что не делает их менее верными), с помощью которых, если не ошибаюсь, только н можно достичь того, чтобы наше спокойствие не нарушалось никаким страхом в будущем.

В натуральной философии Декарт с полным правом торжествует победу, и после Галилея нелегко найти еще кого-то, кто смог бы не говорю уже превзойти, но хотя бы сравниться с ним. Ведь далеко не одно и то же открывать что-то опытным путем, что зависит чаще от случая, а не от рассуждения, и извлекать глубоко скрытые причины вещей. Впрочем, я не стану отрицать, что Декарт в физике получил весьма мало несомненно убедительных результатов, но я, однако, утверждаю, что многое у него здесь поражает своей гениальностью. Среди этого выделяются теории радуги и магнита. Мне бы хотелось, чтобы мы располагали всеми медицинскими и анатомическими его наблюдениями, публикации которых помешала горестная для науки смерть ученого. Я сам видел и читал в Париже написанную рукой Декарта черновую тетрадь, в которую он занес некоторые свои анатомические наблюдения; часть из них я выписал и могу сообщить друзьям. Я видел также его незаконченную работу «Об исследовании истины», в которой он намеревался, если верить началу, изложить все, чем он занимался. Много замечательного было в нем, но все это, однако, укрепило меня во мнении, к которому я уже пришел раньше: Декарт был весьма далек от истинного метода и совершенного анализа. Я не могу принять в целом всю его физическую гипотезу. Ведь его утверждение, что вся материя разделена на равные части, каждая из которых вращается вокруг своего центра, совершенно не имеет никаких оснований. В этом со мной согласен Гюйгенс, единственный из всех, имеющий правильное суждение об этих предметах, кого я не перестаю побуждать, чтобы он написал свои замечания на Декарта, а он может сделать это великолепно.

Совершенно несомненно также и то, что Декарт заблуждался относительно законов движения, и притом во многом и самым невероятным образом, что, однако, совсем не уди-

==146

вительно, тем более что никто еще до сих пор не дал вполне удовлетворительного их описания, хотя это, по-моему, вполне возможно сделать. Выше я сказал, что Декарту недоставало совершенного метода и истинного анализа, а сейчас я хочу прибавить, что он обладал умом творческим, но склонным скорее к открытию общих теоретических принципов, а не к изобретению приборов и орудий утилитарного характера. Поистине существуют какие-то своеобразные пределы у любого таланта, и Бог никогда не дает всего одному человеку. Ведь если бы, например, Декарт обладал многосторонностью Кардана или Кардан — глубиной Декарта, то, конечно, мы обладали бы тем, чего только можно желать от человека, занимающегося наукой. Построенный Декартом прибор для полировки гиперболических линз не самый лучший, да и в целом, по мнению Гудде, наиболее глубоко изучившего этот вопрос, все, чего на практике можно ожидать от гиперболических линз, способны дать сферические, и это, как он сказал мне, доказано им. И все же Гудде принадлежит к самым пылким почитателям Декарта. Впрочем, чтобы не создалось впечатления, что я безосновательно не признаю у Декарта истинного и совершенного анализа, я приведу в пример его геометрию, которой он заслуженно гордится. Он даже заявил где-то, что превосходство его метода в физике и метафизике вполне возможно, в геометрии же оно вообще несомненно. Мы же сегодня благодаря нашей эпохе превзошли Декарта, во всяком случае настолько, насколько он сам — Аполлония; и мы располагаем не только тем, что дает нам наследие Декарта, но и совершенно другими вещами, к которым его открытия не указывали никакого пути.

По моему убеждению, Декарт разработал только часть геометрии, и к тому же очень узкую, а именно рассматривающую те задачи, в которых даются или отыскиваются только длины прямых. Эту геометрию я называю Аполлопиевой. Ведь Декарт только поднял на более высокую ступень то, что на более низких ступенях дал Аполлоний, показывая, каким образом описанием соответствующих кривых или мест можно решить эти задачи. Но геометрия, в которой рассматриваются величины криволинейных фигур,— наука уже совершенно иного рода, я называю ее обычно Архимедовой. Ведь из древних только один Архимед понял ее, а все остальные — Аполлоний, Папп, Феодосии и другие — не дали нам сколько-нибудь значитель-

==147

ного образца ее разработки. Только одну небольшую часть Архимедовой науки начал вновь разрабатывать Кавальери, другую часть — Гульдин, третью — Григорий из Сен-Винцента. Ибо до сих пор никто не смог охватить целиком всей ее мощи. Теперь же, если говорить о положении дела, мы достигли того, о чем сам Архимед не осмеливался и мечтать. Декарт же, насколько можно судить по его сочинениям, почти не касался этой темы. Более того, он осмелился утверждать, что кривая линия не может геометрически перейти в прямую, что, к счастью, впоследствии отвергла наша эпоха.

Поистине замечательны результаты, которые уже после смерти Декарта получили совершенно иными, чем он предполагал, путями Валлис, Хейрат, Гюйгенс, Меркатор и др. Среди всего остального выделяется, на мой взгляд, открытие бесконечных рядов, которые Гудде и Меркатор применили к гиперболе, а я с большим успехом — к кругу. Ведь этот метод бесконечных рядов является столь общим;

что с его помощью может быть аналитически, чисто, рационально выражено значение любой неизвестной величины, правда через бесконечную формулу, а между тем мало кому, по-видимому, известен всеобщий характер этого метода. Поясню на примере. Пусть из центра R будет описан круг, радиус которого AR будет 1, тангенс AT данной дуги круга АС будет t; он, однако, не должен быть больше радиуса; я утверждаю, что аналитическое, чистое, рациональное, но бесконечное значение данной дуги А С следующее: дуга равна

Это значение абсолютно верно, если рассматривать целиком весь бесконечный ряд, и в этих пределах оно указывает путь уму; если же взять лишь часть его, то этот же ряд оказывается удивительно полезным для практики. Например, если считать AT пятой частью радиуса АН, или единицы, т. е. считать данный t равным 1 то уравнением дуги будет ^ - ^ + ^ и т. ц.\ и поэтому

==148

если в данном случае использовать только два первых члена ряда, то получим практически удовлетворительное значение такой дуги, а именно: если предположить, что эта дуга ^ — g-^, т. е. ^-, то, хотя значение и будет меньшим, ошибка не составит - радиуса и, чем большее число членов использовать, тем ближе мы будем подходить к истине. Если предположить, что AT равно радиусу AR, т. е. если дуга АС есть семиквадрант, тогда уравнение дуги будет у—-з-+-5-—у+^-—^и т.д.

Отсюда следует тот удивительный факт, что круг относится

1 1 , 1 1 , к описанному квадрату как этот ряд: -т—-q-+-c-~-7'+

1 1 4- — — .. и т.д. — к единице, хотя, впрочем, этот ряд, как он здесь представлен, не годится для быстрого приближения (ибо в других случаях мы имеем ряды, значительно быстрее сходящиеся и так же продолжающиеся в бесконечность); но я не знаю, можно ли представить что-нибудь более удобное и более простое для теоретического выражения истинного отношения круга к квадрату или квадрата к диаметру. Эти выражения через бесконечные ряды имеют огромное значение, ибо они отличаются от приближений тем, что ряды дают нам некую теорему определенного значения и в то же время дают бесконечные приближения без новых расчетов, тогда как другие приближения, например Людольфовы 2, не могут быть продолжены без новых расчетов. Таким способом те величины, которые Декарт исключил из своей геометрии, могут трактоваться аналитически, и мы получаем возможность достичь чего, чего никто не мог раньше, а именно того, что любой человек без инструментов и таблиц синусов в любой момент может решать тригонометрические задачи с помощью не очень сложных расчетов, тогда как раньше для решения какого-нибудь единственного тригонометрического примера было необходимо пересчитывать от начала до конца целые таблицы. Теперь же с помощью вышеупомянутого бесконечного или, если угодно, конечного уравнения, выражающего значение данной дуги, мы легко можем, зная стороны треугольника, найти его углы, и наоборот, и это без всяких таблиц. Все это будет весьма полезным для путешественников, которые могут потерять книги и инструменты, но не так-то легко забудут столь простое

==149

правило. А это правило дает возможность в самой беспросветной глуши без какой бы то ни было помощи книг производить наблюдения и тригонометрические операции. Этим же методом можно измерять все кривые линии, производить расчеты всех пространств, всех плотных тел и поверхностей, находить центры тяжестей и возбуждений и бесчисленное множество других вещей, что в другом случае, по-видимому, едва ли было бы возможным для нас. Я, однако, признаю, что это не самое главное, чего мы хотим от анализа, ибо совершенные значения неизвестных величин состоят в некоем конечном выражении, если его можно получить, или, если его получить невозможно,: в доказательстве невозможности. Впрочем, его всегда можно получить, когда задачи сводятся к уравнению, выраженному обычным способом, хотя и любой степени.

Некий араб, по имени Мухаммед, первым открыл, что корень общего уравнения второй степени х2 + рх + qTIO (которое я для простоты выражаю по способу Виета и Декарта)3 имеет значение ± Т/ -t- ^r — q — t- - (Обычно я выражаю его в таком виде, не обращая внимания га знаки, которые не должны нам мешать, как я заметил в другом месте.)

Сципион Ферро первым нашел, что корень х общего уравнения третьей степени (второй член которого отсутствует), а именно r3 + рх + qQO имеет значение

V-^+Vi^+^p^y-^-V^^+^p3-

Лудовико Феррари, современник Кардана, первым нашел решение квадратно-квадратичного уравнения введением кубического уравнения, откуда с помощью такого рода общей формулы можно выразить и его корень.

К этим, с моей точки зрения истинно аналитическим, открытиям (поскольку они чисто и абсолютно выражают значение неизвестной величины) ни Виет, ни Декарт не прибавили ничего, что по крайней мере имело бы отношение к этому вопросу; более того, потеряв надежду продвинуться дальше в этом деле и найти способ аналитического извлечения корней из уравнений, они вообще изменили направление своих исследований. Виет нашел поистине прекрасный способ извлечения корней, сколь угодно приближенных к истинным в числах, а Декарт построил их в линиях и, таким образом, хотя один дал арифмети-

==150

ческое, а другой — геометрическое решение, они оба отказались от истинно аналитического решения, включающего все прочие. В наше время вместо Виетова извлечения в числах мы имеем значительно более удобный способ — через бесконечные ряды, а вместо Декартовых построений из различных кривых линий я создал уникальный инструмент, который дает возможность, умножив в зависимости от обстоятельств число частей, строить любые уравнения. Таким образом, и в этих двух вопросах мы сегодня далеко превзошли и Виета, и Декарта. Мне кажется, что сравнительно недавно я пришел все же к удачному аналитическому решению всех уравнений, которое не только Декарту, но и многим выдающимся ученым нашего времени представлялось почти безнадежным, т. е. к методу, с помощью которого общей формулой (в соответствующей степени) может быть выражено значение неизвестного корня любого уравнения, подобно тому как это сделал Сципион Ферро в кубическом уравнении, хотя в более высоких степенях (например, в пятой степени) мы до сих пор так далеки от общей формулы, что не дали даже ни одной частной: у меня есть доказательство метода, а пример его применения в пятой степени (чего до сих пор никому не удавалось сделать) я дам, когда у меня будет время. Во всяком случае несомненно: во всем анализе едва ли можно найти что-нибудь более трудное и мой метод опирается на такую длинную цепь, что достаточно ясно, что я натолкнулся на него не случайно. В нем заключен прогресс и совершенствование всей алгебры (а я называю собственно алгеброй решение уравнений само по себе, безотносительно к числам и линиям); ведь когда мы однажды получим корни всех уравнений, мы будем иметь решения всех задач, сводимых к уравнениям. Однако слишком малая часть листа, оставшаяся незаполненной, напоминает мне о чрезмерном и неожиданном многословии. А посему я закончу просьбой передать привет от меня ученейшему мужу Экарду и, если сочтешь нужным, рассказать ему об этих моих мыслях. Впрочем, и беседа с этим человеком, и переписка с ним будут для меня весьма приятны. Прощай и будь счастлив.