Olympic Village, Athens 80 страница

Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 643

Определение 1. Тождественные, или совпадающие, [термины Г суть те, каждый из которых можно всюду подставить вместо другого с сохранением истинности. Например треугольник» и «трехсторонник», ибо во всех предложениях доказываемых Евклидом относительно треугольна можно с сохранением истинности вместо термина «треугольник» подставлять «трехсторонник», и обратно.

Х<-А оо В означает, что А и В тождественны. Так мы сказали бы о прямой XY и прямой УХ : YX оо XY, т. е. сказали бы, что кратчайшие пути движения от Х к Y и от Y к

Опрнеделение 2. Различные термины суть те, которые не тождественны или в которых подстановка иногда неосуществима. Таковы «круг» и «треугольник» или же квадрат с виду правильный, ибо так его всегда представляют геометры и «разносторонний четырехугольник», так как не все то, что можно сказать о ромбе, можно сказать о квадрате.

Х

А не оо В означает, что А и tf д__у__^__х

являются различными, как, например прямые XY и RS^ то и В оо А. Если что-

..Яг;^^^^^^^^ — г г06 г"

тождественно. Ибо так как А оо В (по условию), то ^с^Гонр 1 " утверждении А оо В (истинном по условию подставлять В вместо А и А вместо В. Следовательно, будем иметь в, то и В не оо А. Если ^П^Z^oA^^^^^^^^ то " - ^ будет

"Тн^че0^^'иметь: В оо Л. Следовательно (в силу док^ого^е),^-^^^^^^^^

roSU=\^^^^. тождеств ^

==641

другу. Ибо если в утверждении А оо В (истинном, по условию) С будет подставлено вместо В (в силу опр. 1, так как В оо С}, то получится истинное предложение.

Королларий. Если А оо В, и В оо С, и С оо D, то А оо D, и так далее. Ибо А оо В оо С, следовательно, А оо С (согласно доказанному предложению). И опять же А оо С оо D, а значит (согласно доказанному), А оо D.

Отсюда, если равными считать тождественные по величине, следует, что [ величины ], равные одной и той же третьей, равны между собой. Евклид при построении равностороннего треугольника берет каждую из сторон равной основанию, откуда следует, что они равны между собой. Если что-либо движется по кругу, достаточно показать, что пути, [проходимые какой-либо точкой] за два ближайших периода, или оборота, всегда совпадают, чтобы заключить о том, что совпадают пути для любых периодов.

Предложение 4. Если А оо В и В не оо С, то и А не оо С. Если из двух {терминов}, которые тождественны друг другу, один отличен от третьего, то и другой будет. отличен от него же. Ибо если в предложении В не оо С (истинном, по условию) подставить А вместо В, то будет истинным (в силу опр. 1, так как А оо В) и предложение А не оо С.

Определение 3. «А находится в L» или «Z- содержит А» есть то же самое, что «Множество вместе взятых [терминов], среди которых есть 4, полагается совпадающим с L».

Определение 4. Все термины, в которых содержится все содержащееся в L, вместе называются компонентами данного скомпонованного, или составленного, L.

В N оо L означает, что В есть в L, или что L содержит В, и что В и N вместе составляют, или скомпоновывают, L. Аналогично в случае многих [терминов].

Определение 5. Субальтернантами я называю те [термины], один из которых содержится в другом, такие, как А и В, если либо В содержится в А, либо А содержится в В.

Определение 6. Раздельные [термины] — те, ни один из которых не содержится в другом.

Аксиома l.B QN oo N Q B , т..e. данная транспозиция ничего не меняет.

Постулат 1. Для любого данного [термина] можно найти от него отличный и, если угодно, раздельный, т. е. такой, что один в другом не содержится.

==642

Постулат 2. Любое множество [терминов], таких, жак А, В, могут быть взяты вместе для составления одного [термина] А @ В, или L.

Аксиома 2. А А оо А. Если ничего нового не добавляется, то ничего нового и не получается; т. е. подобнее совторение ничего не меняет. (Ибо хотя 4 монеты и другие 4 монеты дадут 8 монет, но совсем другое дело — 4 монеты и те же самые 4 монеты, пересчитанные еще раз.)

Предложение 5. Если А есть в В и А оо С, то и С есть в В. Совпадающее с содержащимся. есть содержащееся. Ибо из предложения «Л есть в В» (истинного, по условию) подстановкой С вместо А (в силу опр. 1 совпадающих, так как А оо С, по условию) получим: С есть в В.

Предложение 6. Если С есть в В и А оо В, то и С бу/дет. в А. Что содержится в одном из совпадающих, то содержится и в другом. Ибо из предложения «С есть в В» подстановкой А вместо С (так как А оо С} получим: А есть» в В (обращение предыдущего предложения) 1.

Предложение 7, А есть в А. Одно и то же содержится в себе самом. Ибо А есть в А @ А (в силу определения «содержащегося», т. е. опр. 3) и А @ А оо А (в силу акс. 2). Следовательно (в силу предл. 6), А есть в А.

Предложение 8. А есть в В, если А оо В. Одно из совпадающих содержится в другом. Это явствует из предыдущего. Ибо А есть в А (в силу доказанного выше), т. е.. (по условию) в В.

Предложение 9. Если А оо В, то А @ С оо В Q) С. Если к тождественным [терминам] добавляются совпадающие, получаются совпадающие. Ибо, если в предложении А (+) С оо А @ С (истинном само собой) вместо А в одном случае подставить В (по опр. 1), получатся; А @ С оо В <Э С.

АС

А—треугольник 1 .В—трехсторонний f А @С —треугольник равносторонний В @С — трехсторонник

равносторонний

совпадают

совпадают

/

^ ^— \ \ .^ "^

\

-^————)-

У^-У

==643

Схолия. Данное предложение не допускает обращения, и тем более — два нижеследующих; ниже (в проблеме, которая излагается в предл. 23) будет указан способ подтверждения этого.

Предложение 10. Если А оо L и ВссМ, то А @ В оо оо L @ М. Если к совпадающим добавляются совпадающие, получаются совпадающие. Ибо так как В оо М, то (в силу предшеств. предл.) А @ В оо А @ М, и подстановкой L вместо последнего А (поскольку А оо L, по

__ условию) получим: А@Воо ^ГЕГ""\ ooL@M.

\

\ /^Л

^——-^ Л——7/

У м/

/

А — треугольник и L — трехсторонник совпадают; LM

В — правильный и М — наиболее емкий из изопериметрических, имеющих равное число сторон многосторонннков„ совпадают. Правильный треугольник и наиболее емкий из изопериметрических трехсторонников совпадают.

Схолия. Это предложение не допускает обращения. Ведь если было 6ыА@ВооЬ@МиАооЬ, отсюда еще не следовало бы, что и В оо М. Тем более не допускает обращения следующее предложение.

Предложение 11. Если А оо L, В оо М и С оо N, то А В @ С оо L @ М @ N. И так далее. Если предполагается сколь угодно много {терминов} и столько же других [терминов}, соответственно совпадающих с ними один к одному, то составленное из первых совпадает с составленным из последних. Ибо (в силу предшеств., так как А оо L и В оо М) имеем: А @ В оо L @ М. Откуда, поскольку С оо N, получим (также в силу предшеств.): A Q) В @ С оо оо L М @ N.

Предложение 12. Если В есть в L, то А @ В будет в А @ L. Если одно и то же добавляется к содержимому и содержащему, полученное из первого содержится в полученном из второго. Ибо пусть L оо В @ N (по определению'. «содержащегося»); тогда А @ В есть в В @ N @ А (в силу того же), т. е. в L @ А.

В — равносторонний, L — правильный, А — четырехсторонник. «Равносторонний» содержится в «правильном», т. е. свойствен «правильному». Следовательно, «равносторонний четырехсторонник» содержится в «правильном

==644

А1_ АВ

четырехстороннике», т. е. в «совершенном квадрате». YS есть в RX. Следовательно, RT YS, т. е. RS, есть в RT @ RX, или в RX.

Х2, "А \. В

Схолия. Это предложение не допускает обращения, R^— ибо, если даже А @ В есть \ в А @ L, отсюда не следует, что В есть в L.

Предложение 13. Если L @ В оо L, то В будет в L.

Если что-либо с добавлением другого не становится другим, то добавленное в нем содержится. Ибо В есть в L @ В (по определению «содержащегося») и L @ В оо L (по условию); следовательно (в силу предл. 6), В есть в L. RY@RXooRX, следовательно, RY входит в RX. . ^-— ~^'-~ -^ RY входит в RX, следова- .^ ~^\ тельно ,RY @RX оо RX. / \ Пусть L — параллело- ^______у______\

7 в'

грамм (любая сторона которого параллельна некоторой другой стороне), B L

В — четырехсторонний. «Четырехсторонний параллелограмм» есть то же самое, что и «параллелограмм». Следовательно, «быть четырехсторонним» содержится в [понятии] «параллелограмм».

И обратно: «быть четырехсторонним» содержится в [понятии] «параллелограмм». Следовательно, «четырехсторонний параллелограмм» есть то же самое, что и «параллелограмм».

Предложение 14. Если В есть в L, то L @ В оо L. Субалътернанты ничего нового не компонуют, т. е. если что-либо содержится в другом, то, добавленное к этому другому, оно не дает ничего от него отличного. Обращение предыдущего предложения. Если В есть в L, то (по определению «содержащегося») L оо В @ Р. Следовательно (в силу предл. 9), L @ В оо В @ Р @ В, т. е. (в силу акс. 2) оо В Qj Р, что (по условию) оо L.

Предложение 15. Если А есть в В и В есть в С, то и А есть в С. Содержимое содержимого есть содержимое содержащего. Ибо А есть в В (по условию), следовательно,

==645

А L оо В (по определению «содержащегося»). Подобным образом так как В есть в С, то В @ М оо С. Подстановкой в данном утверждении А @ L вместо В (они, как мы показали, совпадают) получим: А @ L @ М оо С. Следовательно (по определению «содержащегося»), А есть в С.

RT есть в RS, и RS - в RX, У____т————s————х следовательно, -ЙГ есть в RX. V^^/д / * Л—четырехсторонник, В— ^ -/ / параллелограмм, С—прямоугольник.

«Быть четырехсторонником» содержится в понятии параллелограмма, и «быть параллелограммом» содержится в понятии прямоугольника (т. е. фигуры, все углы которой прямые). Следовательно, «быть четырехсторонником» содержится в [понятии] «прямоугольник». Если же вместо понятий, которые рассматриваются сами по себе, мы берем индивидуумы, охватываемые данным понятием, то указанные выше [понятия] допускают инверсию, и можно считать А прямоугольником, В — параллелограммом, С — четырехсторонником 2. Ибо все прямоугольники находятся в числе параллелограммов, а все параллелограммы — в числе четырехсторонников. Следовательно, и все прямоугольники содержатся среди четырехсторонников. Таким же образом все люди содержатся в [числе] всех животных и все животные — в числе всех телесных субстанций; следовательно, и все люди содержатся в [числе] телесных субстанций. С другой стороны, наоборот, понятие телесной субстанции содержится в понятии животного и понятие животного — в понятии человека. Ведь «быть человеком» содержит в себе «быть животным».

Схолия. Указанное предложение не допускает обращения, и тем более — следующее.

Королларий. Если А @ N есть в В, то и N есть в В. Ибо N есть в А @ N (по определению «содержащегося»).

Предложение 16. Если А есть в В, и В есть в С, и С есть в D, то и А есть в D. И так далее. Содержимое содержащего, взятого из содержимого, есть содержимое содержащего. Ибо если А есть в В и В есть в С, то и А есть в С (в силу предшеств.). Откуда если С есть в D, то (опять же в силу предшеств.) и А будет в D.

Предложение 17. Если А есть в В и В есть в А, то А оо В. Те [термины]^ которые взаимно содержатся один

==646

в другом, совпадают. Ибо если А есть BB,voA@NooB (по определению «содержащегося»). Далее, В есть в А <по условию); следовательно, А @ N есть в Л (в силу предл. 5). Поэтому (в силу короллария к предл. 15) и N есть в А. Следовательно, так же (в силу предл. 14) А оо оо А а) N, или А оо В. RT, N; RS, A; SRRT,B.

«Быть трехсторонником» содержится в [понятии] «треугольник», а «быть треугольником» содержится в [понятии] «трехсторонник». Следовательно, «треугольник» и «трехсторонник» совпадают.

Так же «быть всезнающим» совпадает с «быть всемогущим».

/ - ^ „; Y 8 Т \

Предложение 18. Если А есть в L и В есть в L, то и А @ В будет в L. То, что составлено из двух [терминов]^ содержащихся в одном и том же, также содержится в нем. Ибо, так как А есть в L (по условию), можно положить А @ М оо L (по определению «содержащегося»). Подобным образом, так как В есть в L, можно положить В @ N оо L. Объединением указанных [положений] получим (в силу предл. 10) А ф М @ В @ N оо L @ L. Следовательно (в силу акс. 2), А @ М @ В N оо L. Поэтому (по определению «содержащегося») А @ В есть в L. RYS есть в RX. ——-—.^

YST есть в RX.

Следовательно, RT есть в RX.

А В

А —равноугольный, В — равносторонний, А @ В — равноугольный равносторонний, или правильный, L — квадрат. «Равноугольный» содержится в «квадрате». «Равносторонний» содержится в «квадрате». Следовательно, «правильный» содержится в «квадрате».

Предложение 19. Если А есть в L, и В есть в L, и С есть в L, то А @ В @ С будет в L. И так далее. Г. е. вообще, в чем содержатся отдельные [термины], в том содержится и составленное из них. Ибо А ф В будет в L (в силу предшеств.). Кроме того, и С есть в L (по усло-

==647

вию). Следовательно (опять же в силу предшеств.), А @ В ф С есть в L.

Схолия. Очевидно, что указанные два предложения и им подобные допускают обращение. Ибо если А @ В оо со L3, то ясно, что, по определению «содержащихся», А есть в L и В есть в L. Так же, если А @ В ^р С оо L, ясно, что А есть в L, В есть в L и С есть в L. Равным образом, что А @ В есть в L, А @ С есть в L и В Q С есть в L. II так далее.

Предложение 20. Если А есть в М и В есть в N, то Л @ В будет в М @ N. Если предшествующий [термин] содержится в последующем и другой предшествующий — а другом последующем., то составленное из двух предшествующих содержится в составленном из двух последующих. Ибо А есть в М (по условию) и М есть в М @ N (по определению «содержащегося»). Следовательно (в силу предл. 15), А есть в М @ N. Подобным образом поскольку В есть в N, а N есть в М @ N, то 5 будет в М @ N. Дачее, если А есть в М Q N и В есть в М TV, то (в силу дредл. 18) и А Q) В будет в М (-^> N.

RT есть в RY, и ST есть

mn в SX. Следовательно, RT (j^ @ st,t. e. HY, есть в RY SY, т. e. есть в RY 4.

--".

Пусть А будет четырехсторонний, В—равноугольный, А @ В — прямоугольный. Пусть М будет параллелограммом, N — правильным, а М @ N — квадратом. Тогда «четырехсторонний» содержится в «параллелограмме», а «равноугольный» содержится в «правильном». Следовательно, «прямоугольный» (т. e. «четырехсторонний равноугольный») содержится в «правильном параллелограмме», или «квадрате».

Схолия. Это предложение не допускает обращения. II пусть даже А будет в М, а также А @ В в М N, отсюда вовсе не следует, что В есть в N, ибо может случиться, что как А, так и В будут в М или же что нечто такое, что будет в В, будет в М, а остальное — в N. По той же причине тем более не допускает обращения следующее и подобные ему предложения.

Предложение 21. Если А есть в М^ и В есть в N, и С

==648

есть в Р, то А В ® С будет в М N @ Р. И так далее. Составленное из содержимых содержится в составленном из содержащих. Ибо так как А есть в М и В есть в N, то (в силу предшоств.) А В будет в М @ N. II далее, С есть в Р, следовательно (также в силу предшеств.), А @ В С есть в М @ N @ Р.

Предложение 22. К двум данным раздельным [терминам} А и В найти третий, отличный от них, — С, такой, чтобы он вместе с ними составил субальтернанты А (^ С и В О С. Т. e. такой, что, пусть даже А и В один в другом 1 е содержатся, все же один из А ® С и В @ С будет содержаться в другом.

Решение. Если мы хотим, чтобы А @ С содержалось в данном В @ С, и при этом допускаем, что А не будет в В, тогда это можно представить следующим образом. Берем (в силу постулата 1) некоторое D, любое, но такое, чтобы оно не содержалось в данном А, и (в силу постулата 2) получаем A @D оо С. Полученное будет искомым.

Ибо Asj)CooAQyA@ .--—-^ Q D" (по построению) оо А ^'"'ьс

^^v^

А / В /

@ D (в силу акс. 2). Подобным образом В @ С оо В @ //^qg ^^\ \ А @ D (по построению). Далее, A@D есть в В СЭ к|-————i———^————/X Q-} А D (в силу опр. 3). Следовательно, А (Т) С есть в В @ С. Что требовалось получить.

SY и УХ — раздельны. Пусть RS @ SY оо YR, SY ff) YR пусть будет в XY @ YR. Пусть А — равносторонний, В — параллелограмм, D — равноугольный, С — равносторонний равноугольный, или правильный. Отсюда ясно, что, хотя «равносторонний» и «параллелограмм» будут раздельны (так что одно в другом не содержится), ]все же «правильный равносторонний» содержится в «правильном параллелограмме», т. е. в «квадрате». Но вы скажете, что подобная конструкция не во всех случаях достижима. Если, например, А будет трехсторонний, а В — четырехсторонний, то нельзя будет найти такое понятие, в которое одновременно входили бы и Л, и В, а поэтому нельзя получить такое В @ С, в которое входило бы А @ С, ибо А и В несовместимы. На это я отвечу, что наша общая конструкция покоится на постулате 2, в силу которого любой [термин] может быть скомпонован с лю-

==649

бым [термином]. Так, Бог, душа, тело, точка, теплота составляют агрегат из этих пяти вещей. И таким же путем могут быть скомпонованы трехстороннее и четырехстороннее. Тем самым проблема разрешается. В таком случае берется некоторое D, такое, чтобы оно не содержалось в «трехстороннем», например «круг». А @ D будет «трехсторонним и круглым», что обозначается через С. Далее, С А будет не чем иным, как опять-таки «трехсторонним и круглым». Тем более оно будет содержаться в С В, т. е. в «трехстороннем, круглом и четырехстороннем». Но если бы кто-нибудь захотел применить указанное общее исчисление произвольных композиций к специальному виду составления [композиции], например если бы кто-то пожелал, чтобы трехсторонник, круг и четырёхсторонник не только составили один агрегат, но чтобы в то же самое время каждое из этих понятий было в одном и том же субъекте, тогда он должен был бы установить, совместимы ли они. Так, неподвижные расходящиеся прямые могут одновременно браться именно для составления одного агрегата, но не для составления одного континуума.

Предложение 23. Для двух данных раздельных {терминов} А и В найти третий, отличный от них, С6.

Решение. Берется (в силу постулата 2), что С оо А В, и получается искомое решение. Ибо, поскольку А и В раздельны (по условию), т. е. (по опр. 6) одно в другом не содержится, постольку (в силу предл. 13) не может быть С оо А пли С оо В. Поэтому все эти три [термина] являются различными, как того и требует задача. Далее, А@СооАА@В (по построению), т. е. (в силу акс. 2) оо А В. Следовательно, А С оо А @ В. Что и требовалось получить.

Предложение 24. Найти множество различных {терминов}, таких, что каждый отличен от всех других, сколько бы их ни было взято, и таких, чтобы из них нельзя было составить нового {термина}, т. е. {термина}, отличного от любого {из них}.

Решение. Берется сколь угодно много любых [терминов], отличных друг от друга: А, В, С, D (в силу постулата 1), и из них (в силу постулата 2) образуются А @BooM,M@C<3oN,[email protected] утверждаю, что А, В, М, N, Р и будут искомыми. Ибо (по построению) из Л и В получим М, и, далее, А или В есть в М, и М — в Ni и N — в Р. Следовательно (в силу предл. 16), любой

==650

из предшествующих будет в любом из последующих далее, если два каких-либо термина [из них] скомпоновать друг с другом, то ничего нового не получится. Ибо если скомпоновать одно и то же с самим собой, ниче]0 нового не образуется: L L оо L (в силу акс. 2). Если же скомпоновать разные [термины], то — предшествующий с последующим, а следовательно, содержимый с содержащим, как L N, но L N оо N (в силу предл i4.) Если же скомпоновать три [термина], так что L @ N /* то скомпонуется пара L @ N с одним [термином] Р. то пара [терминов] L @ N сама по себе не составляет ничего нового, ведь один из них, как уже показано, есть последующий N. Поэтому компоновать пару [терминов] L ^ с одним [термином] Р — это то же самое, что компоновать V с Р, что, как мы показали, ничего нового не составляем Следовательно, пара вместе с одним, т. е. тройка [терминов], ничего нового не составляет. И так далее для всего множества. Что и требовалось доказать.

Схолия. Достаточно взять [термины], которые последовательно содержатся один в другом, такие, как М, N, и т. д., и действительно будем иметь в результате, ее положить в нашем построении А оо «ничто», что В оо ] Однако данное решение представляется более общим, хоть такого рода проблемы могут решаться еще и другими способами. Но чтобы выявить все их возможные решения* т. е. доказать, что нет никаких иных возможных способов, понадобилось бы много других предположений нуждающихся в предварительном доказательстве. Так например, чтобы пять вещей А, В, С, D, Е не могли составить ничего нового, они должны удовлетворять только следующим способам организации. Во-первых, если есть vB,BvC,CvDsDBE; во-вторых, если А В оо с и С есть в D, а D в Е; в-третьих, если А ф В оо С, А ес^ в D и В D оо Е. К этому третьему способу относятся указанные выше пять понятий: «равноугольное» А, «равностороннее» В, «правильное» С, «прямоугольное» D и «квадратное» Е. Из них нельзя составить ничего нового» такого, что уже не совпадало бы с каким-либо из них. Ибо «равноугольное равностороннее» совпадает с «правильным» и «равноугольное» содержится в «прямоугольном» а «равностороннее прямоугольное» совпадает с «квадратным». Отсюда «правильное равноугольное» есть то я самое, что «правильное», а также «правильное равностороннее», а «равноугольное прямоугольное» есть «прямо-

==651

угольное», «правильное же прямоугольное» есть «квадратное».

Схолия к определениям 3, 4, 5, 6. Мы говорим, что понятие рода содержится в понятии вида, индивиды вида — среди индивидов рода, часть — в целом и даже что неделимое содержится в континууме, как точка в линии, хотя точка и не будет частью линии. Таким образом, понятие состояния, т. е. предиката, содержится в понятии субъекта. И это положение распространяется на весь универсум. Мы говорим также, что содержащиеся содержатся в том, в чем они находятся. И в данном случае при таком общем представлении неважно, каким образом те, что содержатся, относятся друг к другу или к содержащему их. Поэтому наши доказательства относятся и к тем [терминам], которые составляют нечто распределенное, как все виды вместе составляют род. Далее, все содержащиеся, которых достаточно для составления содержащего, т. е. такие, в число которых входят все, входящие в содержащее, называются составляющими данное содержащее. Например, говорят, что А В составляет L, если А, и, L обозначают прямые RS, YX в RX, так как RS YX оо оо RX. Таким же образом RS ф SX со RX. А такие части, которые комплектуют целое, я обычно называю «коинтегрантными», особенно если они не имеют никаких общих частей, так что могут быть названы «сочленами», как RS и RX, Отсюда ясно, что одно и то же может быть составлено многими способами, если те [термины], из которых оно составляется, будут сами составными. И далее, если они могут разлагаться до бесконечности, то и вариантов композиции будет бесконечно много. Поэтому синтез и анализ целиком зависят от указанных здесь оснований. Далее, если те [термины], которые содержатся в чем-то, будут однородны с тем, в чем они содержатся, они будут называться «частями», а содержащее их будет называться «целым». Если же имеются две какие-либо части, такие, что может найтись нечто третье, имеющее общую часть с одной из них и общую часть с другой, тогда то, что из них составляется, есть континуум. Отсюда ясно, как одно рассуждение постепенно возникает из другого. Далее, я называю «субальтернантами» те [термины], один из которых содержится в другом, как, например, вид в роде, прямая RS в прямой RX. «Раздельными» я называю те, которые не таковы, как, например, прямые RS и УХ^ два вида одного и того же рода, металл благо-

==652

водный и неблагородный. К раздельным относятся также и члены различных делений одного и того же целого, которые имеют нечто общее; например, если делить «металл» на «благородный» и «неблагородный» и, кроме того, на «растворимый» и «нерастворимый» в крепкой водке, будет ясно, что «металл, нерастворимый в крепкой водке» и «металл благородный» суть два раздельных [термина]. Имеем же мы металл благородный, т. е. сохраняющий свой блеск в тигле и все же растворимый в крепкой водке — такой, как серебро; и наоборот, имеем металл неблагородный и нерастворимый в крепкой водке, такой, как олово.

Схолия к аксиомам 1 и 2. Поскольку общее знаковое искусство (speciosa generalis) есть не что иное, как репрезентация и истолкование комбинаций с помощью знаков и оперирование с ними, и поскольку изобретаемые законы комбинирования бывают разными, постольку возникают и различные способы вычисления. В данном же случае нет никакого смысла принимать во внимание различие, которое состоит единственно в изменении порядка, и для нас АВ есть то же самое, что и В А. Далее, в данном случае не имеет никакого смысла повторение, т. е. для нас АА есть то же самое, что и А, Поэтому настоящее исчисление может быть приложено всюду, где выполняются указанные законы. Но очевидно, что они выполняются в случае составления абсолютных понятий, где не имеет смысла ни порядок, ни повторение. Так, сказать: «теплое и светлое» — то же самое, что сказать: «светлое и теплое», а говорить вместе с поэтами: «жаркий огонь» или «белое молоко» — это значит говорить плеоназмы. И «белое молоко» есть не что иное, как «молоко», а «разумный человек» или «разумное животное, которое разумно» есть не что иное, как «разумное животное». То же самое происходит, когда некоторые определенные вещи полагаются содержащимися среди [тех же] вещей. Ибо реальное прибавление того же самого является бесполезным повторением. Когда говорят, что двойка и двойка дают четверку, последняя двойка должна отличаться от первой. Если бы она была той же самой, ничего нового не получилось бы и случилось бы так, как если бы, шутки ради, я пожелал из трех яиц сделать шесть, пересчитав сначала три яйца, затем, съев одно из них, — оставшиеся два и, наконец, съев еще одно, — оставшееся одно. Однако в исчислении чисел и Д величин А, В или иные знаки не обозначают определен-

==653

ную вещь, а [обозначают] любую вещь с одним и тем же числом конгруэнтных частей. Ведь любые два фута обозначаются через 2 (если единицей, или мерой, будет фут), откуда 2+2 дает нечто новое — 4, и 3, взятое 3 раза, дает нечто новое — 9. Ибо предполагается, что всегда оперируют различным (хотя и той же самой величины). Иное дело, когда вещь присутствует в других вещах, например когда речь идет о линиях. Пусть движущийся предмет описывает прямую RY @ YX oo RYX или же Р В оо L движением от R к X. Положим, далее, что тот же [предмет] возвращается от Х обратно к У и там останавливается. Хотя он непременно дважды опишет [прямую] УХ, или В, не произойдет ничего другого в сравнении с тем, если бы он описал УХ однажды. Так что L В будет тем же, что и L, т. е. Р В В; или же RY УХ ХУ будет тем же самым, что и RY УХ. Очень важно быть осторожным при оценке величины и движения тех [вещей], которые порождаются из величины и движения порождающих или описывающих [вещей], ибо следует остерегаться, как бы при описании одна вещь не выбрала своей траекторией след другой и часть описывающего не заступила место другой [части]; или же следует отделить его, чтобы не полагалось еще раз то же самое. Отсюда также ясно, что компоненты, согласно понятию, которое мы здесь используем, могут из своих величин составить величину, большую, чем величина той вещи, которую они составляют. Поэтому есть большая разница в составлении вещей и величин. Например, если бы у целой прямой L, или ДХ, имелись части А, или RS, и В, или УХ, каждая из которых была бы больше половины данной RX (как если бы RX была величиной 5 футов, RS —4 фута, а УХ —3 фута), то было бы очевидно, что величины частей составили бы величину? футов, большую, чем величина целой [прямой]; и все же данные прямые RS и УХ не составляют ничего другого, кроме RX, т. е. RS УХ оо RX. Вот почему это реальное прибавление я обозначаю через , тогда как прибавление величин обозначается через -+-. Наконец, если реальное прибавление касается многого, то, раз речь идет о вещах, действительно порождаемых, имеется какой-то порядок [порождения], ибо прежде закладывается фундамент, а потом строится здание. В мысленном же образовании вещей получается одно и то же, какой бы из ингредиентов мы ни рассматривали прежде других, хотя бы один способ рассмотрения и был полезнее другого. Значит,

==654

в данном случае порядок не изменяет порождаемой вещи. В свое время потребуется обратиться к порядку. В данном же случае RY @ YS @ SX есть то же самое, что YS RY @ SX.

К предложению 24. Схолия. Если RS и YS различны и, более того, разделены, так что ни одно из них не будет в другом, то RS УХ оо RX, a RS RX будет тем же самым, что УХ RX. Ведь во всех случаях составляется в понятиях прямая RX. Пусть А будет параллелограмм, В — равноугольник (которые суть раздельные), а С будет А В, т. е. прямоугольник. Тогда «прямоугольный параллелограмм» будет тем же самым, что и «равноугольный прямоугольник»: и то и другое есть не что иное, как «прямоугольник». Вообще, пусть будет Мевий — А, Титий — В, пара, составленная из них двоих, — С. Тогда Мевий будет вместе с этой парой тем же, чем будет Титий с этой парой, ибо в обоих случаях ничего иного, кроме данной пары, не производится. Может иметь место и другое решение, которое более изящно, но и более специально: если бы А и В имели нечто общее, и это общее было бы дано, и было бы дано также то, что каждое из них имеет собственный признак (proprium). Итак, пусть собственным признаком данного А будет М, а собственным признаке данного В будет N и пусть М @ N оо D, общее же им обоим будет Р. Тогда я утверждаю, что А D будет оо В D. Ибо поскольку AooP@MTiBooPQN,wA@D оо Р М Л^ и также B@DooP^iM

==655