Обчислення з наближеними числами. Правила заокруглення

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 3477

Під час математичного опрацювання результатів експерименту доводиться виконувати ряд математичних операцій над конкретними числами, користуючись, як правило, калькулятором. Тут виникає закономірне запитання, як правильно заокруглити результат обчислення, беручи до уваги, що вихідні дані – це результати прямих вимірювань, що мають певну точність, тобто є наближеними числами. Наприклад, вам потрібно обчислити середнє значення виміряного експериментально три рази часу руху тіла: t₁ = 5,13c; t₂ = 5,12c; t₃ = 5,12c (точність вимірювань 0,01с). Скориставшись калькулятором, ви отримаєте 5,123333333333. Цілком зрозуміло, що цей результат не можна подати з такою точністю, оскільки вона значно перевищує точність вимірювання вихідних даних. Як же заокруглити отриманий результат? Щоб дати відповідь на це запитання, введемо деякі поняття і вкажемо правила заокруглення, яких слід дотримуватись під час обчислень.

Сумнівною цифрою у записі наближеного числа називають наступну цифру розряду, що відповідає точності вимірювань. У прикладі, наведеному вище, 5,123333333333, підкреслена цифра 3 є сумнівною. Зліва від сумнівної містяться правильні цифри, а справа – неправильні.

Значущими цифрами числа є всі правильні та сумнівна цифри числа. Незначущими цифрами є нулі на початку числа, за допомогою яких визначають розряди десяткових дробів у числах, що менші за одиницю, а також цифри множника 10ⁿ.

Наприклад, число 9,81 містить три значущі цифри, числа 0,23; 0,023; 2,3×10^-2; 5,6 × 10⁴ мають дві значущі цифри, у числах 5,007; 80,43; 2000; 4,000 є чотири значущі цифри.

Результат будь-якої математичної дії з наближеними числами є також наближене число яке потрібно заокруглювати. Встановлені наступні правила заокруглення:

–під час додавання (віднімання) заокруглений результат міститиме стільки цифр після коми, скільки їх є у вихідному числі з найменшою кількістю цифр після коми. Наприклад:

0,56+0,02+3,5+0,003 = 4,083 » 4,1

25,67 – 3,8 + 32 = 53,87 » 54.

У наведених прикладах підкреслені доданки мають найменшу кількість цифр після коми. Таку ж кількість цифр після коми містять і заокруглені результати.

–під час множення, ділення, піднесення до степеня і добуванні кореня заокруглений результат міститиме стільки значущих цифр, скільки їх є у вихідному числі з найменшою кількістю значущих цифр. Наприклад:

5,67 ´ 0,33 = 1,8711 » 1,9; 56,89 / 6,4 = 8,88906 » 8,9;

0,032³ = 0,00003277 » 3,3 10^-5; = 2,00025 » 2,000.

–під час логарифмування мантиса заокругленого результату має стільки значущих цифр, скільки їх є в числі, яке логарифмується. Наприклад:

lg54,6 = 1,73719 » 1,737.

Слід також зауважити, що під час математичного опрацювання результатів експерименту сумнівну цифру враховують, обчислюючи середнє значення вимірюваної величини. Під час обчислень похибок проміжні результати завжди заокруглюють у бік збільшення. Наприклад:

(Dd)² = (0,12)² = 0,0144 »0,015

Остаточний результат записують числом, яке містить лише правильні цифри. Згідно вимог стандартів сумарна похибка записується числом з кількістю значущих цифр не більше двох.