Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Коливання за наявності сил опору середовища. Згасаючі коливання та їх характеристики.Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1203
У реальних коливних системах завжди діють сили тертя і опору середовища. За цих умов мають місце втрати енергії на подолання цих сил, а також на збудження коливань у навколишньому середовищі. Усе це призводить до зменшення енергії коливань, що проявляється у зменшенні амплітуди коливань, оскільки енергія коливання пропорційна до квадрата амплітуди: . Коливання, які відбуваються з поступовою втратою їхньої енергії називаються згасаючими. Під час розгляду коливних процесів у попередніх параграфах використовувались припущення про невеликі відхилення систем від положення рівноваги. Тому, під час аналізу впливу сил тертя на коливні процеси, з достатньою точністю можна вважати, що дані процеси відбуваються з малими швидкостями і величина сили опору (тертя) пропорційна до швидкості руху: (7.31) З урахуванням сили тертя рівняння руху одномірної коливної системи набуває вигляду , (7.32) або Ввівши позначення та , отримаємо: (7.33) Розв’язок рівняння (7.33) шукатимемо у вигляді: (7.34) Вважаємо, що вплив сил тертя призводить до зменшення амплітуди коливань з часом: . Підставивши (7.34) у (7.33), отримаємо[4]: (7.35) Вираз (7.35) тотожно дорівнює нулеві, коли коефіцієнти при та дорівнюють нулю. Тому: (7.36) (7.37) Оскільки , то розв’язок рівняння (7.37) зводиться до наступного: , або . Проінтегруємо останній вираз і отримаємо: , або . Сталу інтегрування знайдемо з початкових умов. Нехай при амплітуда коливань дорівнює , тоді і (7.39) З виразу (7.39) видно, що амплітуда коливань за наявності опору середовища зменшується за експоненціальним законом. Підставимо (7.39) у рівняння (7.36) і отримаємо: +( =0 Скоротивши вираз на , знайдемо невідому величину : , або (7.40) Кінцево розв’язок рівняння (7.33) набуває вигляду (рис. 45): (7.41)
Таким чином, частота коливань системи за наявності опору середовища менша від частоти коливань системи без втрат. Це зменшення частоти тим більше, чим більший коефіцієнт, що характеризує опір середовища: і . Зокрема, у разі значних сил тертя, коли , з виразу (7.40) отримуємо уявне значення . Це свідчить про те, що у системі відсутні періодичні коливні рухи, а є лише неперіодичне повернення системи до положення рівноваги (рис. 46). Характеристики згасаючих коливань. 1. Коефіцієнт згасання – це величина, обернена до часу , впродовж якого амплітуда коливання зменшиться в разів: (7.42) 2. Декремент згасання – відношення двох послідовних амплітуд: (7.43) 3. Логарифмічний декремент згасання: (7.44) Величина обернена до дорівнює кількості коливань, протягом яких амплітуда коливань зменшиться в разів: (7.45) 4. Добротність коливної системи: . (7.46) Добротність характеризує енергетичні втрати системи за один період. Відомо, що енергія коливної системи пропорційна до квадрату амплітуди. Тому закон зменшення енергії коливань можна записати: , (7.47) де – енергія коливання при . Швидкість зміни енергії з часом дорівнює . Тоді, продиференціювавши (7.47), отримаємо . Якщо згасання коливань мале, то зміна енергії коливань за період приблизно дорівнює: , або (7.48) Тобто, у разі незначного згасання, добротність системи з точністю до множника дорівнює відношенню енергії коливної системи на даний момент часу до втрати енергії за один період.
|