Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Інтерференція хвиль. Стояча хвиляДата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2904
Якщо в середовищі поширюються одночасно декілька хвиль, то коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань, які б здійснювали ці частинки під дією кожної з хвиль зокрема. Коливання під дією хвиль додаються одне з одним, не збурюючи самих хвиль. Це явище називають суперпозицією хвиль. Найцікавішим є додавання коливань, збурених хвилями однакової циклічної частоти ( ) і сталої різниці фаз. Такі хвилі називають когерентними, а додавання коливань, збурених когерентними хвилями, інтерференцією хвиль. Окремим випадком інтерференції є накладання двох зустрічних когерентних хвиль однакової амплітуди. За цих умов у середовищі виникає коливний процес, що називається стоячою хвилею. Стоячу хвилю можна отримати, зокрема, під час додавання зустрічних хвиль. Запишемо рівняння двох зустрічних когерентних хвиль і знайдемо їх суму: і
(8.23) Рівняння (8.23) є рівнянням стоячої хвилі. З даного виразу видно, що сумарне коливання здійснюється з циклічною частотою , а амплітуда коливань залежить від координати. Для зручності обговорення виразу виберемо початок відліку координати Х таким чином, щоб , а початок відліку часу t таким, щоб (реально це ). Тоді вираз (8.23) зведеться до вигляду: , (8.24) тут – амплітуда стоячої хвилі. У точках х, для яких , амплітуда коливань набуває максимального значення і дорівнює (бо ). Такі точки називають пучностями: (8.25) оскільки . Відзначимо, що пучність є не окремою точкою, а площиною, рівняння якої . У площинах, координати яких: , ( ), (8.25) амплітуда коливань дорівнює нулю. Дані точки називають вузлами: (8.26) З наведених виразів видно, що відстань між сусідніми вузлами та сусідніми пучностями дорівнює , а відстань між сусідніми вузлом і пучністю дорівнює . З виразу, що описує залежність амплітуди коливань в стоячій хвилі від координати можна зробити висновок, що коливання в точках по різні боки від площини вузла відбуваються в протифазі. У ділянці між двома сусідніми вузлами коливання відбуваються в однаковій фазі. Характерною особливістю стоячої хвилі є те, що тут відсутнє передавання енергії від одних точок середовища до інших, як це відбувається у біжучій хвилі. Для виникнення стоячої хвилі в обмеженому середовищі необхідне узгодження частоти коливань джерела хвилі з відповідним характерним розміром середовища (наприклад, з довжиною об’єкта l вздовж якого поширюються пряма і відбита хвилі). Покажемо це на прикладі поперечних коливань стрижня, закріпленого в одній точці, та коливань струни, закріпленої в обох кінцях. Якщо один кінець стрижня довжиною l закріпити, а по іншому кінцю (незакріпленому) вдарити молотком перпендикулярно до l, то всередині стрижня виникне стояча поперечна хвиля (рис. 52), причому в закріпленому кінці стрижня буде вузол, а у вільному – пучність. Між довжиною стрижня l і довжиною стоячої хвилі l виконується співвідношення: , (8.27) (в довжину стрижня повинна вкладатись непарна кількість ). Власні частоти коливання стрижня наступні: , (8.28) або (8.28а) де – фазова швидкість поширення поперечної чи поздовжньої хвилі в матеріалі стрижня, - частота коливань. У закріпленій в обидвох кінцях струні вузли коливань будуть в точках закріплення струни. Тому в довжину струни завжди повинна вкладатись парна кількість : , (8.29) Відповідно циклічна частота, що відповідає можливим стоячим хвилям: (8.30) Частоти коливань струни називають власними частотами: (8.31) Усі власні частоти кратні , яку називають основною частотою. Власні частоти називають гармоніками. Подібний результат можна отримати і для поширення поздовжніх коливань у розглянутому вище однорідному стрижні або стовпі рідини чи газу довжиною . У цьому випадку напрям пружних коливань частинок речовини співпадає з напрямом поширення прямої та відбитої хвиль . Нехай джерело коливань (джерело біжучої прямої хвилі) перебуває у площині . У цій площині є пучність коливань, а у протилежному кінці проміжку довжиною відбувається відбивання біжучої хвилі, тому при є вузол коливань. Отже, у випадку поздовжньої стоячої хвилі у проміжок довжини повинна вкладатись непарна кількість , тобто . Власними частотами коливань у поздовжній стоячій хвилі є частоти: , 1,2,3,... (8.28а) а відповідне рівняння коливань, аналогічне (8.24): Проаналізуємо останній вираз за умови (тобто коли . Для цього знайдемо вирази і побудуємо графіки для амплітуд коливань , максимальних швидкостей частинок , кінетичних та потенціальних енергій частинок. Пам’ятаємо, що зміщення частинок під час коливань відбувається у напрямі . За цих умов амплітуда коливань . Відповідно, швидкість частинок , звідки . Тоді максимальна кінетична енергія частинок: , а максимальна потенціальна енергія частинок середовища у полі пружних сил: . Зазначимо, що коливання та в часі проходять таким чином, що за фіксованого : У точках повна енергія коливань дорівнює нулю, бо у цих точках незалежно від амплітуда коливань і швидкість руху частинок дорівнюють нулю.
|