Вимушені коливання

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2213

Будь-яке реальне вільне коливання з часом згасає. Вірогідно, що для підтримання коливань впродовж тривалого часу необхідно постійно поповнювати енергію коливної системи. Це можна здійснити шляхом дії на систему зовнішньої періодичної сили.

Якщо на систему крім пружної сили та сили опору діє зовнішня періодична змушуюча сила , то коливання в системі, що існують впродовж тривалого часу, називають вимушеними.

Рівняння руху одномірної коливної системи в даному випадку запишемо в наступному вигляді:

, або

(7.49)

Ввівши позначення ; , , кінцево отримаємо рівняння руху системи:

(7.50)

Рівняння (7.50) називають неоднорідним нелінійним диференційним рівнянням другого порядку. Загальний розв’язок такого рівняння складається з загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (7.33) і часткового розв’язку неоднорідного рівняння (7.50). Загальний розв’язок однорідного рівняння (тобто рівняння, в якому права частина дорівнює нулю) дає вираз (7.41): . Ці власні коливання системи виникають у початковий проміжок часу дії вимушуючої сили, однак за тривалої дії вимушуючої сили ( , де ) власні коливання практично згасають.

На початку своєї дії вимушуюча сила перевищує силу опору, а тому робота цієї сили сприяє збільшенню кінетичної енергії коливань та їхньої амплітуди. Із зростанням енергії коли-вань сила опору поступово збільшується, її величина пропорційна швидкості) і кінцево настає стабілізація вимушених коливань, у випадку якої дія сили тертя зрівно-важується вимушу-ючою силою і коливання стають стабільними.

Процес вста-новлення вимушених коли-вань схематично показано на рис. 47.

Знайдемо амплітуду установлених (стабільних) вимушених коливань та їхній зсув фази по відношенню до фази вимушуючої сили. Вважаємо, що вимушене коливання відстає за фазою від вимушуючої сили на кут . Частковий розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді:

Підставимо цей розв’язок у рівняння руху (7.50) і розв’яжемо рівняння, використавши метод векторних діаграм:

Після підстановки та у (7.50) отримаємо:

+

Таким чином, гармонійна функція виражена як сума трьох гармонійних коливань, які можна зобразити як три вектори, повернуті один відносно одного на кут . Вектор амплітуди вимушуючої сили дорівнює векторній сумі векторів:

(зсунутий по фазі відносно на кут – )

(випереджає на кут ) і

(випереджає на кут p ).

У прямокутному трикутнику ОВД (рис. 48) вектор є гіпотенузою:

+

З цього виразу амплітуда вимушених коливань:

(7.51)

і (7.52)

Таким чином, рівняння вимушених коливань має наступний вигляд:

, (7.53)

в якому відставання за фазою вимушених коливань (7.52).

Проаналізуємо детальніше залежність виразу (7.53) від частоти вимушуючої сили .

1. За умови на систему діє стаціонарна сила . Тоді

.

Зміщення системи під дією стаціонарної сили аналогічне зміщенню під час статичної деформації

(7.54)

1. За умови відсутності сил опору середовища ( =0) вираз (7.51) набуває вигляду:

(7.55)

На підставі (7.55) бачимо, що із збільшенням частоти від = 0 амплітуда коливань зростає, прямуючи до нескінченості при . Коли перевищує збільшення кругової частоти вимушуючої сили веде до зменшення амплітуди коливань (рис. 49).

3. За наявності сил опору графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти матиме максимум, що відповідає мінімальному значенню підкореневого виразу в (7.51). Щоб знайти умову, за якої амплітуда досягає максимального значення, прирівняємо до нуля похідну від підкореневого виразу по і отримаємо:

, (7.56)

де – частота вимушуючої сили, за якої амплітуда вимушених коливань набуває максимального значення . Розв’язавши (7.56) отримуємо:

(7.57)

Амплітуда коливань у максимумі дорівнює:

(7.58)

Явище різкого наростання амплітуди коливань у разі наближення частоти вимушуючої сили до частоти називається резонансом, а частоту називають резонансною частотою. З виразів (7.57) і (7.58) бачимо, що резонансна частота та амплітуда вимушених коливань під час резонансу залежать від величини сил опору: зі збільшенням сил опору обидві величини зменшуються. Вірогідним є те, що при резонансна кругова частота завжди менша за : . За відсутності сил опору в ідеальній системі без втрат . Криві залежності називають амплітудними резонансними кривими (рис. 49).

За кругових частот, які задовільняють умову , явище резонансу зникає.

Проаналізуємо залежність відставання по фазі вимушених коливань від частоти вимушуючої сили (вираз 7.52). За малих частот ( ) , тобто фаза вимушених коливань співпадає з фазою вимушуючої сили; у разі наближення до кут поступово зростає, досягаючи при . У процесі подальшого збільшення частоти ( ) поступово зростає, досягаючи значення при . Залежності називають фазовими кривими резонансу (див. рис. 50).

Нагадаємо, що явище резонансу може бути як корисним, так і шкідливим. Зокрема, в механіці резонансні яви-ща використовують для аналізу звуку в акустиці, для підсилення акустик-них коливань за допо-могою резонаторів. У багатьох механічних сис-темах резонансні явища шкідливі й у ряді випадків можуть призвести до руйнування об’єкта (коли-вання крил літаків, мостів, висотних об’єктів, ліній електропередач і т. ін.).